Matemáticas Aplicadas (plan 2017) 2021-1

Grupo 6021, 30 lugares. 11 alumnos.

 

Los Talleres de Modelación Matemática I y II son una parte fundamental de la licenciatura en Matemáticas Aplicadas. Buscan que el estudiante adquiera experiencia en el planteamiento matemático de problemas de diversa índole y procedencia, para que, en el futuro, esté preparado en la que será una de sus tareas principales.

Mientras que en Modelación I se ven modelos que hacen uso de la matematica discreta, en el de modelación II se presentaran modelos continuos. ¿Qué significa esto? que las variables en el modelo viven en espacios continuos como ℝ o ℝⁿ. Un caso obvio de un modelo de este tipo es el del movimiento en el espacio de una párticula de masa m sujeta a una o varias fuerzas,

m(d²y/dt²)=F(t,y,dy/dt)

En donde las variables tiempo t y posición y(t) son descritas, respectivamente por números en un intervalo de ℝ y vectores en ℝ³.

Ejemplos menos evidentes son los de la descripción, mediante sistemas de ecuaciones diferenciales, de la dinámica de poblaciones o del decaimiento radioactivo, donde el número de individuos y átomos son representados por números reales. Esto constituye una abstracción "conveniente" que no se apega a la realidad (no es posible que el número de individuos sea igual a π, o que haya(3/5) de átomo)

Otro caso, semejante de abstracción macro, se tiene cuando se sustituye el conjunto discreto de las moléculas que constituyen un objeto por todos los puntos de la región que ocupan, como si toda ella estuviera ocupada. De esta manera, por ejemplo, la masa total se considera distribuida en todos los puntos de la región con una función de densidad puntual.

El programa que se presenta en la página se ha quedado corto respecto al avance de los estudiantes, por ejemplo no incluye nada de ecuaciones diferenciales, por ello buscaremos enriquecerlo incluyendo modelos que lleven a sistemas diferenciales no lineales, para analizarlos cualitativamente y resolverlos numéricamente. A ello se añadirán, además, algunos problemas de control y de control óptimo. Pero se pretende avanzar también en el planteamiento de problemas que para ser resueltos requieren de otras a áreas de las matemáticas.

Resumiendo, en una primera parte tanto el planteamiento como la resolución de los modelos no necesitará mucho más que la matemática que hasta el momento han llevado (Cálculo Diferencial e Integral, Geometría Analítica, Ecuaciones Diferenciales, Programación, Probabilidad) o de la que están llevando (Análisis Numérico).

Sin embargo, en una segunda parte mostraremos, basados en mecáníca de medios continuos, un esquema de modelación significativo. Esto nos llevará a modelos cuya conceptualización no requiere más matemáticas que las de Cálculo Diferencial e Integral de varias variables, pero cuya resolución necesitará de matemáticas que se verán en semestres posteriores.

Un punto de gran importancia en la modelación, pero que se suele dejar de lado, es la estimación de los parámetros que intervienen en el modelo. Presentaremos uno o varios casos sencillo que den idea de cómo resolver dicho problema.

A lo largo del curso haremos uso de conferencias y cursos impartidos por otros profesores o investigadores, como si fueran nuestros invitados.

Quedarán algunos temas en el tintero, como es el caso de modelos probabilísticos, pero esperamos que este primer acercamiento a la modelación le sirva de acicate para avanzar por si mismos.

Temario

∙ Introducción

∙ Problemas bien y mal planteados

∙ Análisis dimensional y escalamiento de modelos

∙ Modelos que llevan a ecuaciones diferenciales ordinarias: análisis cualitativo.

∙ Solución numérica de problemas de condiciones iniciales y de frontera

∙ Ecuaciones diferenciales con retardo y problemas de control.

∙ Sistemas de ecuaciones y modelos compartimentales.

∙ Estimación de parámetros.

∙ Cálculo vectorial y campos.

∙ Sistemas continuos: de las ecuaciones de balance a las ecuaciones diferenciales parciales.

Bibliografía

Para cada tema se les irá indicando bibliografia tanto sobre los problemas o fenómenos a modelar como de las matemáticas que podrían requerirse.

Plataforma y comunicación

El curso se impartirá con una combinación de actividades sincrínicas y asincronicas. Utilizaremos Moodle Ciencias como plataforma para presentar materiales tanto escrtos como de video. Las reuniones "presenciales" se llevarán a cabo mediante meet. La liga se les hará llegar a los alumnos inscritos a través de los correos con los que aparecen en las listas.

Para evitar problemas en la comunicación se les pide que tengan un correo en e dominio @ciencias.

Como alterrnativa, si no les llega la liga, pueden escribir al correo del curso alumnosmaloux50@gmail.com

Forma de trabajo

Se trabajará en equipos de a lo más 3 personas.:

Dependiendo de la complejidad del trabajo cada tema requerirá de 1, 2 o tres semanas

Organización:

1. Los viernes se publicarán en la plataforma las indicaciones del trabajo a entregar, los materiales y la bibliografía de apoyo.

2. Explicaremos el tema y daremos las indicaciones en sesión presencial los martes de 7 a 8 prorrogable en caso de ser necesario hasta las 9 de la mañana.

3. Buscaremos la forma en que los equipos puedan trabajar en un foro dentro de la plataforma. Los jueves y, en su caso, los martes y jueves de la o las siguientes semanas los equipos podrán trabajar con asesoria del profesor y el ayudante.

4. De ser apropiado se compartirán videos de cursos o conferencias relacionados con el tema a tratar.

5. Los equipos tendrán que subir sus trabajos en presentaciones preliminares (avances) o definitivas los sábados. Haremos las observaciones por escrito o verbalmente si hay oportunidad. Los avances pueden escribirse a mano, los trabajos definitivos deberán presentarse en PDF (se sugiere el uso de LaTex)

6. Para la programación se sugiere que se use Octave o Python.

6. Al final del curso cada equipo hará una presentación de alguno de los temas. Estos se asignaran al azar.

Evaluación

La calificación será el promedio de las evaluaciones de cada uno de los trabajos requeridos y de la presentación.