Física Biomédica (plan 2015) 2020-4

Tercer Semestre, Álgebra Lineal

Información de contacto

Diego - dabn@ciencias.unam.mx ó https://telegram.me/dabnciencias (@dabnciencias, desde Telegram).

Javier - javierdeloera@ciencias.unam.mx ó https://telegram.me/javierdeloeraciencias (@javierdeloeraciencias).

Álgebra Lineal

Objetivo del curso

Sentar bases teóricas sólidas de álgebra lineal para diversas aplicaciones que serán útiles en materias del plan de estudios, tales como Cálculo Avanzado, Ecuaciones Diferenciales, Matemáticas Avanzadas, Introducción a la Física Cuántica y Mecánica Cuántica, Algoritmos Computacionales y Física Computacional, entre otras.

Metodología de enseñanza

Este curso está diseñado para que l@s estudiantes aprendan álgebra lineal de manera mayormente autodidacta, a la vez que se les da acompañamiento en los temas del curso mediante sesiones cortas de asesoría en línea en grupos reducidos. Desde el principio del curso, l@s estudiantes tendrán acceso a notas del curso, que incluyen ejercicios de repaso para reforzar los aprendizajes: esto permitirá que cada quien avance a su ritmo. Se establecerán horarios fijos para atender dudas de la materia de manera virtual y se procurará la interacción y colaboración entre estudiantes durante el proceso de aprendizaje.

Forma de evaluación

La evaluación se hará a través de 4 tareas-exámenes, que se realizarán cada segundo viernes del curso intersemestral. Las tareas-examen se realizarán y entregarán en equipos de pocas personas, que serán asignados por el profesor y cambiarán después de cada entrega; esto fomentará la amplia colaboración entre estudiantes, y permitirá que se le pueda brindar una atención más focalizada a cada equipo. Para asegurar que el trabajo sea colaborativo, cada entrega deberá indicar de forma clara las contribuciones que realizó cada miembro del equipo al trabajo entregado. La calificación que obtenga un equipo en una tarea-examen será la misma que se asigne a cada contribuyente para esa misma entrega. Quienes no contribuyan a su equipo en una entrega no tendrán derecho a la calificación correspondiente.

Al final del curso, quienes tengan un promedio reprobatorio en la materia deberán presentar un examen final de forma individual, que sustituirá sus calificaciones anteriores. Las personas con promedio aprobatorio también podrán optar por hacer el examen final para subir calificación; en ese caso, su calificación en el final reemplazará las anteriores.

Temario del curso por semana

Semana 1: Campos, espacios vectoriales, subespacios vectoriales, producto escalar y norma, proyecciones y ortogonalidad.

Semana 2: Combinaciones lineales, subespacio generado y conjunto generador, dependencia e independencia lineal, bases y dimensión, ortogonalización y ortonormalización.

Semana 3: Transformaciones lineales, espacio de transformaciones lineales, núcleo e imagen de una transformación lineal, nulidad y rango, representación matricial de una transformación lineal.

Semana 4: Composición de transformaciones lineales y multiplicación de matrices, invertibilidad e isomorfismos, cambios de base, espacios duales.

Semana 5: El problema de la diagonalización, eigenvalores e eigenvectores, polinomio característico.

Semana 6: Diagonalizabilidad, subespacios invariantes y sumas directas.

Semana 7: Complemento ortogonal, funcionales, espacio dual y operadores lineales adjuntos.

Semana 8: Operadores lineales normales y autoadjuntos, operadores ortogonales y unitarios, proyecciones ortogonales y teorema espectral.

Nota: Debido al poco tiempo del que disponemos para el curso intersemestral, se asumirá que l@s estudiantes dominan los siguientes temas del temario de Álgebra: Matrices (definción y operaciones), matrices transpuestas, operaciones elementales y matrices elementales, rango de una matriz, matrices invertibles, cálculo de la inversa de una matriz invertible, determinante de una matriz cuadrada (definición y propiedades), cálculo de determinantes, soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales homogéneos, espacio de soluciones de un sistema homogéneo, sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos, criterios de existencia de soluciones y resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Bibliografía recomendada para el curso:

• S. H. Friedberg, Linear Algebra, 4a ed. - es el texto básico para este tipo de cursos.
• S. Lang, Linear Algebra, 3a ed. - buen complemento al Friedberg.
• D. Poole, Linear Algebra: A Modern Introduction, 4a ed. - útil para quienes quieran ver algunas aplicaciones de los conceptos al mismo tiempo que los aprenden.
• R. Hammack, Book of Proof, 3a ed. - suplemento para entender mejor y practicar demostraciones matemáticas.

Les sugiero que hojeen todos los libros recomendados al inicio del curso, y que consulten los de su agrado constantemente durante el mismo, o bien, busquen otros que les sirvan mejor para aprender.

Otros recursos educativos:

No sólo se aprende de libros; hay que aprovechar todo el contenido que ofrece el internet para nuestra educación. Enlisto aquí algunos recursos útiles para aprender álgebra lineal:

• Lista de reproducción Essence of Linear Algebra del canal de YouTube 3Blue1Brown.
• Libros de texto interactivos Immersive Linear Algebra e Interactive Linear Algebra, que sirven para generar intuición acerca de algunos conceptos del álgebra lineal.
• Series de videos de sobre álgebra lineal de lemma y Khan Academy con interfaces para resolver ejercicios al final de cada lección.

Por supuesto, les invito a que busquen más recursos por su propia cuenta.

Nota: Al entregar una tarea o presentar un examen para ser calificado, automáticamente pierden el derecho a pedir NP. Si entregan algo, se les califica, y dejan de entregar tareas/presentar exámenes, se les pondrá NA (No Aprobó).