Física Biomédica (plan 2015) 2021-1

Tercer Semestre, Álgebra Lineal

Información de contacto

Diego - dabn@ciencias.unam.mx ó https://t.me/dabnciencias (@dabnciencias, desde Telegram).

Javier - javierdeloera@ciencias.unam.mx ó https://t.me/javierdeloeraciencias (@javierdeloeraciencias).

Álgebra Lineal

Objetivo del curso

Sentar bases teóricas sólidas de álgebra lineal para diversas aplicaciones que serán útiles en materias del plan de estudios, tales como Cálculo Avanzado, Ecuaciones Diferenciales, Matemáticas Avanzadas, Introducción a la Física Cuántica y Mecánica Cuántica, Algoritmos Computacionales y Física Computacional, entre otras.

Dinámica del curso en línea

Este curso está diseñado para que l@s estudiantes aprendan álgebra lineal de manera mayormente autodidacta, a la vez que se les da acompañamiento en los temas del curso mediante sesiones cortas de asesoría en línea en grupos reducidos. Por lo tanto, la mayor parte del curso se llevará a cabo a través de actividades asíncronas.

Como plataforma para llevar el curso, utilizaremos la aplicación de mensajería instantánea Telegram -misma por donde publicaremos avisos, recursos didácticos (especificados más abajo), exámenes, etc. y atenderemos dudas de nuestr@s estudiantes fuera de las sesiones de videollamada- y, para las sesiones síncronas (videollamadas), utilizaremos Google Meet.

Al inicio de cada semana, les indicaremos cuáles son las lecturas que deben realizar y los ejercicios que deben contestar durante la misma. Además, a lo largo de la semana les enviaremos recursos didácticos que complementen sus lecturas. Los días viernes nos reuniremos por videollamada en el horario de clase para resolver dudas sobre los ejercicios dejados. Al final de cada semana, les indicaremos las lecturas y ejercicios que deben resolver para la siguiente. Además, nos reuniremos algunos días miércoles (en promedio, cada dos semanas) por videollamada en el horario de clase para dar una exposición breve de algunos temas del módulo y para que nos pregunten sus dudas acerca de ellos.

Durante todo el curso, se procurará la interacción y colaboración entre estudiantes durante el proceso de aprendizaje.

Recursos didácticos

Desde el principio del curso, l@s estudiantes tendrán acceso a notas del curso -que abarcan aproximadamente la mitad del mismo e incluyen ejercicios al final de cada sección diseñados para reforzar los aprendizajes. Además, les compartiremos oportunamente videos (como aquellos de la lista de reproducción Essence of Linear Algebra del canal de YouTube 3Blue1Brown) y páginas interactivas (como Immersive Linear Algebra e Interactive Linear Algebra) que complementen sus lecturas, así como "quizzes" cortos diseñados para que cada quién autoevalúe sus aprendizajes de ciertos temas y pueda enfocarse en repasar aquellos temas que aún no domina.

Primera reunión

Nuestra primera reunión será el lunes 21 de septiembre a las 14:00hrs. El enlace se los pasaremos por Telegram, por lo que les pedimos que nos manden un mensaje por esa vía utilizando la Información de contacto que aparece al inicio de esta presentación.

Temario del curso

Semana 1: Campos, espacios vectoriales, subespacios vectoriales.

Semana 2: Producto escalar y norma, proyecciones y ortogonalidad.

Semana 3: Combinaciones lineales, subespacio generado y conjunto generador, dependencia e independencia lineal.

Semana 4: Bases y dimensión, ortogonalización y ortonormalización.

Semana 5: Transformaciones lineales y sus representaciones matriciales.

Semana 6: Composición de transformaciones lineales y multiplicación de matrices.

Semana 7: Invertibilidad e isomorfismos.

Semana 8: Cambios de base.

Semana 9: El problema de la diagonalización, eigenvalores e eigenvectores, polinomio característico.

Semana 10: Diagonalizabilidad.

Semana 11: Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales y aplicaciones en física y biología.

Semana 12: Repaso de diagonalizabilidad y diagonalización.

Semana 13: Funcionales y espacio dual, complemento ortogonal y proyecciones ortogonales.

Semana 14: Descomposición espectral (introducción) y operador adjunto.

Semana 15: Operadores normales, autoadjuntos y teorema espectral.

Semana 16: Operadores ortogonales y unitarios.

Nota: Debido al poco tiempo del que disponemos para el curso, se asumirá que l@s estudiantes dominan los siguientes temas del temario de Álgebra: Matrices (definción y operaciones), matrices transpuestas, operaciones elementales y matrices elementales, rango de una matriz, matrices invertibles, cálculo de la inversa de una matriz invertible, determinante de una matriz cuadrada (definición y propiedades), cálculo de determinantes, soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales homogéneos, espacio de soluciones de un sistema homogéneo, sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos, criterios de existencia de soluciones y resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Sin embargo, no se asumirá conocimiento alguno del temario de Ecuaciones Diferenciales.

Criterios de evaluación

La evaluación se hará a través de 4 tareas-exámenes, que se realizarán cada cuarto viernes del curso. Las tareas-examen se realizarán y entregarán en equipos de pocas personas, que serán asignados por el profesor y cambiarán después de cada entrega; esto fomentará la amplia colaboración entre estudiantes, y permitirá que se le pueda brindar una atención más focalizada a cada equipo. Para asegurar que el trabajo sea colaborativo, en cada entrega se deberá indicar de forma clara las contribuciones que realizó cada miembro del equipo al trabajo entregado. La calificación que obtenga un equipo en una tarea-examen será la misma que se asigne a cada contribuyente para esa misma entrega. Quienes no contribuyan a su equipo en una entrega no tendrán derecho a la calificación correspondiente.

Además de las cuatro tareas-examen, se evaluará un trabajo final obligatorio (que puede realizarse de forma individual o en parejas) en el cual realicen una investigación sobre aplicaciones de los temas vistos durante el curso y, en su caso, realicen una implementación numérica (i.e., un programa) acerca de la aplicación que investigaron. Este trabajo final se promediará con las cuatro tareas-examen para obtener la calificación final del curso.

Al final del curso, quienes tengan un promedio reprobatorio en la materia deberán presentar un examen final de forma individual, que sustituirá sus calificaciones anteriores. Las personas con promedio aprobatorio también podrán optar por hacer el examen final para subir calificación; en ese caso, su calificación en el final reemplazará las anteriores.

Bibliografía recomendada para el curso:

• S. H. Friedberg, Linear Algebra, 4a ed. - es el texto básico para este tipo de cursos.
• S. Lang, Linear Algebra, 3a ed. - buen complemento al Friedberg.
• D. Poole, Linear Algebra: A Modern Introduction, 4a ed. - útil para quienes quieran ver algunas aplicaciones de los conceptos al mismo tiempo que los aprenden.
• R. Hammack, Book of Proof, 3a ed. - suplemento para entender mejor y practicar demostraciones matemáticas.

Les sugiero que hojeen todos los libros recomendados antes de iniciar el curso, y que consulten los de su agrado constantemente durante el mismo, o bien, busquen otros que les sirvan mejor para aprender.

Nota: Al entregar una tarea o presentar un examen para ser calificado, automáticamente pierden el derecho a pedir NP. Si entregan algo, se les califica, y dejan de entregar tareas/presentar exámenes, se les pondrá NA (No Aprobó). Además, no se tolerará la deshonestidad académica: si detectamos que hay una copia en un examen, todas las personas involucradas obtendrán 0 en el mismo.