Actuaría (plan 2006) 2021-1

Optativas, Procesos Estocásticos II

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El curso de Procesos II consiste, a grandes rasgos en

1. Martingalas.
2. Procesos de Markov.
3. Movimiento Browniano.
4. Integral de Itô.

Algunos subtemas se estudiarán con más profundidad que otros.

Presentamos el temario del curso.

Procesos Martingalas

1. Esperanza Condicional.
2. Martingalas y Teoremas de Convergencia.
3. Desigualdad de Doob (convergencia en Lp).
4. Matingalas cuadrado integrables.
5. Integrabilidad Uniforme.
6. Teoremas de Paro Opcional.

Los temas anteriores se verán a tiempo discreto y a tiempo continuo.

Movimiento Browninano y Procesos de Markov

1. Tiempos de Paro
2. Propiedad fuerte y débil de los Procesos de Markov
3. Ley 0,1
4. Trayectorias del Movimiento Browniano.
5. Construcciones del Movimiento Browniano (simulaciones).
6. El Browniano como Martingala.
7. La variación cuadrática del Movimiento Browniano.
8. El movimiento Browniano como Proceso de Markov.
9. El Principio de Reflexión.

Integral de Itô

1. Construcción de La Integral Estocástica para procesos Simples.
2. Extensión de la Integral Estocástica a procesos más generales.
3. Fórmula de Itô.
4. Aplicaciones de la Fórmula de Itô.

Una breve introducción a Ecuaciones Diferenciales Estocásticas.

1. Conexión con las ecuaciones diferenciales estocásticas.
2. Browniano Geométrico.
3. Procesos de Ornstein-Uhlenbeck.
4. Arbitraje y Modelos de Black-Scholes.
5. Simulaciones de la ecuaciones anteriores.

La evaluación del curso, tentativamente consistirá de tareas y exposiciones.

Es obligatorio haber llevado Procesos Estocásticos I y Probabilidad I (o II).

El ayudante será Bor Reynoso Mancera.

Es preferible que hayan cursado Teoría de la Medida, sin embargo, el ayudante verá una introducción.

Bibliografía principal

• R. Durret, Probability, Theory and Examples, 5th edition.
• Karatzas & Shreve ,Brownian Montion and Stochastic Calculus, 2th Edition.
• S. Shreve, Stochastic Calculus for Finance II.
• J.M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications.

Bibliografía complementaria

• Le Gall, Brownian Montion, Martingales, and Stochastic Calculus.
• Schilling, Partzsch, Brownian Montion.