Física (plan 2002) 2021-1

Sexto Semestre, Mecánica Analítica

Introducción

La mecánica no es sólo una rama de la física, es en la que se fundamenta el resto de las ramas de la física. Aunque las leyes de Newton no aplican en todos los sistemas y teorías de la física, conceptos como fuerza y energía tienen su origen en la mecánica. Además, cabe mencionar que muchos de los métodos desarrollados para la mecánica son de gran utilidad en el desarrollo de las demás ramas de la física. Por otro lado, el estudio de sistemas dinámicos en sí es de interés por sus múltiples aplicaciones, desde el estudio de problemas artificiales pero matemáticamente muy ricos como el péndulo doble, hasta investigaciones altamente aplicadas de fluidos (turbulencia), circuítos eléctricos (modelos de neuronas), pasando por problemas de astronomía como la formación de anillos planetarios.

Por estas razones, este curso es probablemente el más importante de la carrera de física y el de más peso en los temas de física de Ciencias de la Tierra.

El temario que seguiré es algo diferente del oficial. Está dividido en 4 grandes partes. La primera parte es para emparejar a todos los estudiantes en cómputo y matemáticas. La segunda parte (y más larga del curso), trata sobre el enfoque de Lagrange. La tercera parte (la más corta del curso) es en realidad una aplicación del enfoque de Lagrange, pero por su importancia y dificultad tiene un espacio especial. La última parte es una introducción al enfoque de Hamilton.

Temario

• Mini-curso de Julia.

  • Julia como calculadora

  • Funciones en Julia

  • Método de la bisectriz (solución a una ecuación algebráica)

  • Método de Euler (ecuaciones diferenciales ordinarias)

    • Oscilador armónico

    • Osciladores acoplados

    • Fuerzas centrales

• Repaso de Matemáticas:

  • Algebra Lineal

    • Vectores (y sus operaciones)

    • Independencia lineal

    • Producto punto y producto cruz

    • Transformaciones lineales

    • Matrices unitarias

    • Diagonalización

    • Problema de valores propios

  • Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

    • Solución general a la ecuación de primer orden

    • Métodos de solución a la ecuación de segundo orden

      • Oscilador Armónico

      • Potenciales constantes

      • Fuerzas centrales

    • Métodos de solución a los sistemas de ecuaciones diferenciales.

• Introducción al cálculo variacional

  • Problema del mínimo tiempo

  • Ecuación de Euler

  • Problema con constricciones

    • Geodésicas

• Ecuaciones de Euler-Lagrange

  • Constricciones

  • Leyes de Newton

  • Deducción de las ecuaciones de Euler-Lagrange a partir de Newton y principio de mínima acción.

    • Ejemplos de solución a problemas con el enfoque de Lagrange

  • Leyes de conservación y simetrías (teorema de Noether)

    • Cantidades conservadas y variables cíclicas.

  • Ecuaciones de Euler Lagrange con constricciones holónomas.

    • Multiplicadores de Lagrange

    • Ejemplos de problemas con constricciones.

  • Problema de dos cuerpos

    • Centro de masas

    • Fuerzas centrales

  • Colisiones

    • Sección transversal

    • Fórmula de Rutherford

• Cuerpo Rígido

  • Transformaciones de Rotación

  • Ángulos de Euler

  • Operador de Rotación

    • Efecto Coriolis

  • Velocidad Angular y Momento Angular

  • Tensor de Inercia

  • Dinámica del cuerpo rígido

    • Ecuaciones de Euler del cuerpo rígido

    • Ecuaciones de Lagrange del cuerpo rígido

    • Movimiento del trompo

• Sistemas Hamiltonianos

  • Transformada de Legendre

  • Principio de Hamilton

  • Ecuaciones de Hamiltón

  • Paréntesis de Poisson

    • Teorema de Liouville

    • Teorema del Virial

  • Ecuación de Hamilton Jacobi

    • Sistemas separables

  • Sistemas integrables y no integrables

    • Teorema KAM

Formato del curso:

Para lograr ver tantos temas con una profundidad suficiente tenemos que optimizar la transmisión de información y eso se logra vía dos métodos.

1. Eficientando la trasmisión de información.

Para esto todo lo que corresponde normalmente a clases presenciales será en video. Se expondrán todos los temas en video sin clases sincrónicas (aproximadamente 3h de video por semana). Por lo tanto no habrá realmente horario en el curso. Cada quién ve los videos cuando tiene tiempo y ganas. Además de eficientar la trasmisión de información (no se pierde tiempo en esperar a que lleguen la mayoría, no hay interrupciones por fallas en conexión, etc. casi no pierden tiempo en lo que reviso mis notas, corrijo errores, escribo las ecuaciones, hago dibujos, etc. Tampoco se pierde tiempo en esperar a que alguien responda las preguntas que yo haga, no hay interrupciones para todo el grupo por una duda individual, etc.), tiene otras varias ventajas. Ustedes pueden aumentar la velocidad del video si les parece que estoy dando un tema muy básico, o pueden repetir varias veces un video que les parece que era complicado. También pueden detener el video para hacer notas o ir al baño. Cada quien va a su ritmo. Por otro lado, podrán revisar en un futuro los videos si lo necesitan, aunque el curso haya terminado ya. Tiene sin embargo la desventaja de la falta de interacción alumno-profesor.

Es importante mencionar que 3h de video corresponden aproximadamente a 6h de exposición en clase presencial, de hecho posiblemente corresponde a más tiempo. Sin embargo, eso no significa que tendrán 3h menos de trabajo. No se confíen.

2. Quitando tiempo que no sea para dar la clase.

Durante un curso típico, además de las exposiciones frente a pizarrón, se usan las horas de clase para presentar exámenes. Lo más común es entre 3 y 4 exámenes al semestre y esto incluye entre 3 y 4 clases más para hablar del examen (resolver el examen y darles su calificación). Además, típicamente se usan más que 2h en el examen robando tiempo a otros cursos. Al final se pierden entre 12 y 16h al semestre, es decir, aproximadamente el 15% del semestre se va en aplicar exámenes. En este curso no habrá exámenes (a menos que lo soliciten, pero son excepciones).

Y para hacer un poco más eficiente el asunto, no habrá “tareas” tal cual. Sí habrá ejercicios y en ese sentido es muy parecido a tener tareas, pero no tendrán que entregar toda la tarea cada uno de ustedes, eso es pérdida de tiempo.

Interacción entre alumnos y alumnos-profesor, alumnos-ayudante.

Podría parecer que es un curso autodidacta al ser todas las exposiciones en video, pero no. Desarrollaremos el curso en un classroom de google. Ahí espero que se den todas las interacciones y de forma muy constante. Espero discusiones entre ustedes. El classroom véanlo como un muro de facebook o algo así, donde todos pueden postear (por supuesto, con respeto). Ahí pondré los links a los videos y responderé sus dudas, pero no sólo yo tengo ese derecho, también ustedes pueden responderse entre ustedes (eso cuenta). En el classroom, además de videos, subiré textos (libros y artículos) cada tanto. Ustedes pueden hacer lo mismo. Es muy enriquecedora su participación, especialmente cuando propician la discusión. También pueden poner videos divulgativos o iniciar un debate, algunos temas son un tanto filosóficos, así que se prestan al debate.

Calificación:

La calificación debe reflejar qué tanto conocimiento tienen sobre un tema. Para medir esto hay muchos métodos. Todos son malos. Las tareas tienen el defecto de no poder verificar quién la hizo realmente. Los exámenes suelen ser un estrés grande que muchos no saben manejar (aún si tienen un buen nivel de conocimiento). En los últimos semestres he hecho el experimento de calificar “subjetivamente” y ha funcionado bien. En esta forma de calificar la evaluación es un promedio de todo lo que observo como su participación, fijándome tanto en la cantidad de la participación como en la calidad de su participación, esto incluye por supuesto la resolución de ejercicios, pero muchas otras cosas también que reviso, pero no pongo un número, sólo me va “dejando una impresión” de cada alumno. Para asegurarnos de que no tengo un sesgo, el ayudante registra todas sus participaciones (el sólo califica si hubo participación y si era un ejercicio si estaba bien o mal, no se fija ni en la dificultad de los ejercicios, ni en la calidad de las participaciones que no son resolver ejercicios). Yo por mi parte doy una calificación subjetiva (lo que me imagino que merecen según la impresión que me hayan dejado). Después revisamos si corresponde con la cantidad bruta de trabajo (sin mirar la calidad, dificultad, etc.). Frecuentemente coincide mi estimación subjetiva con la cantidad de participación que tuvieron, en ese caso queda establecida su calificación con la impresión que me dejaron. Los casos donde no coincide revisamos la calidad de su participación, es decir, puede ser que yo los califique muy alto y tengan pocas participaciones, entonces revisamos qué participaciones fueron y si realmente fueron de muy alta calidad. Algunos problemas son complicados y otros muy sencillos. Naturalmente, es más valioso responder un problema complicado que uno sencillo. También a veces participan analizando artículos complejos o con discusiones muy interesantes y enriquecedoras, o corrigiendo a sus compañeros en ejercicios complicados o errores poco evidentes, todo eso cuenta más que los ejercicios simplones (que hay muchos). Así que aunque alguien haya tenido relativamente menos participaciones, si la calidad de su participación fue muy buena, entonces tiene una calificación alta, si yo tenía una impresión buena pero al revisar descubrimos que ni trabajó tanto, ni fue tan impresionante, entonces su calificación se re-ajusta y ahí sí metemos un poco de aritmética damos un valor a cada participación y con eso revisamos cuanto obtuvo. También puede pasar que alguien participe mucho y tenga una calificación baja. Esto puede pasar porque la calidad de su participación fue muy mala, haciendo comentarios triviales, subiendo textos que no correspondían a la clase o de un nivel muy básico, o resolviendo sólo problemas sencillos. Si en cambio en la revisión descubrimos que fui injusto en mi calificación subjetiva, en ese momento la re-ajusto.

Estas evaluaciones las haremos por lo menos 3 veces en el semestre, con el fin de que tengan idea de cómo les está yendo. Si alguien no está conforme con su calificación en el día que reciban cada una de esas calificaciones puedo hacerle un examen sobre los temas que se hayan visto hasta ese punto. Sin embargo, si alguien pide más de 1 examen, renuncia al NP, pues está reconociendo que sí presentó el curso.

Dificultad del curso:

Es difícil. Si se inscriben, échenle ganas. Si son de los que les gusta resolver problemas de matemáticas y física en su tiempo libre, leer artículos científicos, o discutir sobre temas de ciencia con amigos y compañeros, este es un buen curso para ustedes.

Código del Classroom: mnuxnfk