Matemáticas (plan 1983) 2021-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Variable Compleja II

Temario

0. Repaso relámpago de Variable Compleja I (una semana).

I. Aplicaciones del Teorema del Residuo: Calculo de residuos, método del determinante y otros métodos,, el teorema del residuo, cálculo de integrales trigonométricas y racionales impropias, cálculo de integrales impropias definidas por la transformada de Fourier, cálculo de integrales impropias definidas por la transformada de Mellin, valor principal de Cauchy, cálculo de integrales impropias definidas por funciones multivaluadas, cálculo de series.

II. Conformalidad,transformaciones de Möbius, métrica hipebólica.Métrica cordal, el grupo de Möbius actuando en la esfera de Riemann, PSL(2,C), propiedades básicas: preservan “círculos”, son transitivasen la familia de todos los “círculos” ,clasificación por sus puntos fijos y la conjugación, geometría, configuración de Steiner, transformaciones de Möbius que preservan “discos”, PSL(2;R), clasificación por la traza, multiplicadores. Densidades, métrica hiperbólica en el semiplano y en el disco, isometrías y fórmulas de la distancia hiperbólica, círculos hiperbólicos.

III. Continuación Analítica Principio de Continuación Analítica, simetría en “círculos” en términos de transformaciones de Möbius, razón cruzada, principio de Reflexión de Schwartz para regiones simétricas con respecto a la recta real o con respecto a otro“círculo”, continuación analítica a lo largo de curvas, teorema de monodromía. Superficies de Riemann de algunas funciones elementales: logaritmo, raíz n-ésima, coseno inverso.

IV. Principio del argumento, aplicaciones y comportamiento local. Las distintas versiones del principio del argumento, teorema de Rouché, aplicación a la localización de los ceros de un polinomio, teorema de Hurwitz, funciones inyectivas, comportamiento local de las funciones analíticas, consecuencias y ejemplos.

V. Teorema del mapeo de Riemann. Familias normales, equicontinuidad, teorema de Montel, demostración completa del teorema.

VI.Productos infinitos. Teorema de Weierstrass para productos, ejemplos.

VII. Si da tiempo: la función Gamma y el teorema de Mittag Leffler para funciones meromorfas.

Bibliografía

Seguiremos las notas de mi libro en preparación: "Un segundo curso en variable compleja" , daré tiempo para que tomen todas las notas que necesiten.

Como bibliografía complementaria:

Marsden- Hoffmann, Basic Complex Analysis. Freeman.

Alfhors, Lars. Complex Analysis. Mc GrawHill.

Singermann David, Jones Gareth, Complex functions, Cambridge.

Lascurain Orive, Antonio.Una Introducción a la geometría hiperbólica bidimensional Facultad de Ciencias, UNAM.

Requisitos: variable compleja I

Hay que registrarse en classroom al inicio del curso, con un correo de ciencias. El código es hxizrn7.

El enlace de Meet es

https://meet.google.com/lookup/ccaspd6fuh?authuser=0&hs=179

Debido a la pandemia, las clases serán en línea: martes, miércoles y jueves la clase teórica, y lunes y viernes la ayudantía.

Un requisito para poder ser evaluado es conectarse a la clase teórica al menos una vez a la semana (salvo una justificación de peso) y mostrar su fotografía al inicio del curso.

Para evaluar, contarán 40 % las tareas semanales y 60% las entrevistas. Éstas serán 3 (de aprox. 20 minutos cada una), una cada cinco o seis semanas.

Se podrá reponer una de éstas al final del curso.

ES MUY IMPORTANTE LA PARTICIPACIÓN CON PREGUNTAS Y COMENTARIOS!!

EL LUNES 21 DE SEPTIEMBRE NOS PRESENTAMOS, LAS CLASES EMPIEZAN EL MARTES 22