Matemáticas (plan 1983) 2021-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Topología II

Acerca de los contenidos del curso.

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En este curso de Topología II estudiaremos una introducción a la Topología Algebraica.

Como requisito se espera que los estudiantes que se quieran inscribir hayan tomado el curso de Topología I y Álgebra Moderna I. Concretamente, del curso de Topología I se requiere que el estudiante sepa qué es un espacio topológico, una función continua, espacios cociente y espacios producto. Algunas cosas más sofisticadas como metrización o los axiomas de separación no serán utilizados dado que, al menos en los básicos de topología algebraica, los ejemplos más usados son espacios muy regulares conocidos como complejos CW. Del curso de Álgebra Moderna I se requiere que el estudiante sepa la definición de grupo, subgrupo, grupo cociente, los teoremas de isomorfisom y acciones de grupos. No usaremos los teoremas de Sylow, pero sí veremos como parte del curso algunos tópicos más avanzados de teoría de grupos como son grupos libres, presentaciones y productos amalgamados.

En el siguiente video hablo de los pre-requisitos y la bibliografía del curso

https://www.youtube.com/watch?v=p5wiMurVEsE

Los objetivos principales del curso son los siguientes:

• Introduciremos la noción de homotopía.
• Definiremos lo que es un complejo CW.
• Definiremos el grupo fundamental de un espacio.
• Daremos ejemplos de cálculos explícitos de grupos fundamentales.
• Definiremos producto amalgamado y demostraremos el teorema de Seifert-Van Kampen.
• Veremos la teoría de cubrientes y su conexión con el grupo fundamental.
• Si el tiempo lo permite veremos el teorema de clasificación de superficies cerradas.

Nuestra referencia principal será el libro de Allen Hatcher que pueden encontrar aquí. Sin embargo podríamos apoyarnos en algunas otras referencias clásicas en el área como el libro de Massey, el de Brown, etc.

La idea es también dar muchos ejemplos a lo largo del curso para ilustrar los conceptos y teoremas que estudiaremos.

Acerca de la mecánica del curso.

El curso será en línea. Las herramientas que usaremos para la impartición del curso serán: Google Classroom, Google Meet, Notas de curso y vídeos de Youtube elaborados por el profesor.

Dado que el curso será en línea, vale la pena mencionar que la mecánica no puede ser la misma que en un curso presencial. Desgraciadamente (o afortunadamente si quieren ver el vaso medio lleno y no medio vacío), en esta modalidad, ser requiere que el estudiante tenga un papel más activo en su proceso de aprendizaje. Eso no quiere decir que el profesor y el ayudante no harán su parte del trabajo. Nosotros (el ayudante y el profesor) desarrollaremos material para que puedan verlo en videos de Youtube, además de proporcionar las notas que resulten de dichos videos. Por otro lado, tendremos sesiones presenciales en Google Meet, se espera que sean entre 2 y 3 horas presenciales por semana con el ayudante y el profesor. En las sesiones presenciales se podrán resolver dudas y los estudiantes podrán exponer problemas que les harán ganar puntos adicionales en los examenes parciales o en las tareas. Se asignará una tarea por semana. Aún no sabemos si habrá examenes parciales o si se calificará con puras tareas y exposiciones.

En la siguiente liga pueden ver mi canal de Youtube con los videos que grabé para mis materias del semestre anterior (para los temas que se vieron a partir de la cuarentena) y durante el periodo intersemestral.

https://www.youtube.com/channel/UCmF6r_udwPhwlkyAocDykWw?view_as=subscriber

También aquí pueden ver mi página personal:

https://sites.google.com/im.unam.mx/luisjorgesanchezsaldana/

La página del curso, donde estarán los temas vistos y los links de los videos es la siguiente

https://sites.google.com/im.unam.mx/luisjorgesanchezsaldana/teaching/introducci%C3%B3n-a-la-topolog%C3%ADa-algebraica?authuser=0

Mi área de especialidad es la topología algebraica. A modo de comercial, si les interesan este tipo de matemáticas, puedo aceptar estudiantes para hacer tesis.

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¡Éxito!