Matemáticas (plan 1983) 2021-1

Optativas de los Niveles V y VI, Teoría de la Medida I

La idea del curso es ver los temas clásicos de teoría de la medida, y si los inscritos lo desean, aplicaciones a la teoría de la probabilidad. La dinámica del curso será mediante videos pregrabados, y de ser necesario, dos veces a la semana sesiones en vivo extras a los videos planeados (una de ayudantía, y una de teoría para tratar las dudas que pudieran surgir). El curso se evaluará con tres tareas examen.

Temario:

(Primer parcial)

1. Clases de subconjuntos de un conjunto dado.

2. Medidas sobre σ-álgebras.

2.1. Medidas exteriores y teorema de Carathéodory-Hopf.

2.2. La medida de Lebesgue y Lebesgue-Stieltjes sobre R.

2.3. Funciones de distribución de probabilidad. (*)

(Segundo parcial)

3. Funciones medibles respecto de una σ-álgebra.

3.1. Distribuciones de variables aleatorias. (*)

4. La integral de funciones medibles.

4.1. La integral de funciones medibles no negativas (teorema de convergencia monótona, lema de Fatou).

4.2. El espacio de funciones integrables (teorema de convergencia dominada de Lebesgue, comparación con la integral de Riemann).

4.3. Desigualdad de Jensen, desigualdad de Tchebyshev y regla de la esperanza. (*)

5. Espacios clásicos de Banach.

(Tercer parcial)

6. Modos de convergencia.

7. La medida producto y teorema de Tonelli y Fubinni.

7.1. Independencia de variables aleatorias. (*)

Nota 1 : Las secciones marcadas con (*) se cubrirán si los inscritos están interesados en ellas.

Nota 2: Los interesdos en tomar el curso, favor de envíar un correo (raul_rb@ciencias.unam.mx) para proporcionarles el Link de la primera sesión.

Bibliografía:

-Grabinsky. Teoría de la medida.

-N.L. Carothers. Real Analysis.

-Cohn. Measure Theory

-Gerard B. Folland. Real Analysis.

-Patrick Billingsley. Real Analysis and Probability.

-Protter. Probability Essentials.