Matemáticas (plan 1983) 2021-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Sistemas Dinámicos Discretos II

Temario

Básicamente, en este curso se introduce al estudio de los sistemas dinámicos discretos en espacios de dimensiones reales mayores a 1 (ℝⁿ, toro, plano complejo, esfera de Riemann, etc). Se recordarán las definiciones de los conceptos básicos cuando sea necesario y se contrastarán los resultados estudiados en este curso con los análogos a dimensión real 1.

[Unidad 1. Septiembre-Octubre]

1. Sistemas Dinámicos Discretos en ℝ² y ℝ³.

a) Transformaciones lineales. Dinámica de transformaciones lineales en ℝ² y ℝ³.

b) Transformaciones no lineales. Las transformaciones de Hénon.

c) Bifurcaciones. Ejemplos con bifurcaciones tangente y de duplicación del periodo. Bifurcación de Hopf.

[Unidad 2. Octubre-Noviembre]

2. Sistemas Dinámicos Discretos en variedades de dimensión mayor a 1.

a) La herradura de Smale. Definición dinámica-geométrica. Dinámica simbólica en la herradura.

b) Dinámica en el toro. Automorfismos torales hiperbólicos (Anosov). Subespacios estables e instables. Particiones de Markov.

c) Atractores. Conjuntos límite. Atractores (hiperbólicos). El solenoide. Límites inversos.

d) Variedades estables e inestables. Condiciones de hiperbolicidad. Teorema de las variedades estable e inestable. Ejemplos en el plano 2D, la esfera, el toro y el espacio 3D.

[Unidad 3. Noviembre-Diciembre]

3. Dinámica Holomorfa (Sistemas Dinámicos Discretos en el plano complejo y la esfera de Riemann).

a) Funciones holomorfas. Transformaciones de Möbius. Clasificación de puntos periódicos. Dinámica alrededor de puntos periódicos.

b) Conjuntos de Julia y Fatou. Familias normales. Conjuntos de Julia y Fatou. Puntos excepcionales. Teorema de Montel. Caos y regularidad.

[Unidad 4. Enero]

4. Iteración de Funciones Racionales en la esfera de Riemann.

a) Funciones racionales. Conteo de puntos críticos y órbitas periódicas no repulsoras. Componentes periódicas de Fatou.

b) La familia cuadrática. El conjunto de Mandelbrot. Bulbos y periodicidad.

Prerrequisitos

Obligatorio: Haber cursado y aprobado Sistemas Dinámicos Discretos I.

Deseables (no obligatorias): Topología I, Geometría Riemanniana I (ó Topología Diferencial) y Variable Compleja I.

Lugar y horarios

Lugar: Clases en línea.

Horarios: 14-15 hrs. Profesor lunes, miércoles y viernes. Ayudante martes y jueves.

Evaluación

• 40%. Cuatro tareas, una por unidad.
• 50%. Dos exámenes, uno por área-bimestre (Septiembre-Noviembre: Variedades Reales; Noviembre-Enero: Complejas).
• 10%. Una exposición de algún tema propuesto: el atractor de Plykin, el atractor de Hénon, el atractor de Lorenz, exponentes de Lyapunov, sistemas de funciones iteradas, ejemplos interesantes de conjuntos de Julia, la familia cuadrática perturbada anti-conforme, el tricornio, cálculo de la dimensión fractal de conjuntos de Julia, las fórmulas mágicas de Douady, grupos Kleinianos, transformaciones conformes por partes, entre otros.

Bibliografía

• Principal.
  • Devaney, Robert L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. 1989.
  • Carleson, L. & Gamelin, T.W. Complex Dynamics. 1993.
• Complementaria.
  • Robinson, R. Clark. Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos. 1995.
  • Brin, Michael & Stuck, Garrett. Introduction to Dynamical Systems. 2004.
  • Alligood, K., Sauer, T.D. & Yorke, J. CHAOS, an Introduction to Dynamical Systems. 1996.
  • Devaney, Robert L. A First Course in Chaotic Dynamical Systems - Theory & Experiments. 1992.
  • Beardon, Alan F. Iteration of Rational Functions - Complex Analytic Dynamical Systems. 1990.
  • Milnor, John. Dynamics in One Complex Variable. 1999.
  • Barnsley, M.F. Fractals everywhere. 1993.
  • King, Jefferson E. & Méndez, Héctor. Sistemas Dinámicos Discretos. 2014.