Profesor | Alejandro Ricardo Garciadiego Dantan | lu mi vi | 9 a 10 |
Ayudante | Carlos Iván Lingan Pérez | ma ju | 9 a 10 |
SEMINARIO SOBRE ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS III
“Historia de los fundamentos de las matemáticas”
Martes, miércoles y jueves, 8:00 a 10:00 AM., horas
Sesiones Zoom.
Ayudantías: lunes y viernes.
Dr. Alejandro Garciadiego Dantan
Carlos Iván Lingan Pérez
Departamento de Matemáticas, 016
Facultad de Ciencias, Ciudad Universitaria
Universidad Nacional Autónoma de México
04510 México, D.F.
Tel.: 5555625414
Fax: 5555624859
correo elec.: gardan@ciencias.unam.mx
I. INTRODUCCIÓN
La finalidad de este curso es familiarizar a los estudiantes con el estudio de la historia del desarrollo de la teoría de los números cardinales y ordinales transfinitos de Cantor y con algunas de sus consecuencias más importantes; en particular, el surgimiento de una nueva rama de las matemáticas conocida como ‘fundamentos de las matemáticas’. El análisis se llevará a cabo a través del estudio de fuentes primarias y secundarias. Este no es un curso meramente ‘culturalista’. No se trata de asimilar una cantidad considerable de fechas y datos, aparentemente muy interesantes, pero desprovistos de contenido y significado por sí mismos. Nos motiva mayormente entender por qué distintos intelectuales del pasado decidieron intentar contestar ciertas preguntas o resolver ciertos problemas. Nos interesa comprender las herramientas con las que contaban, y estudiar sus posibles respuestas.
De preferencia, aunque no es estrictamente necesario, el alumno que se inscriba a esta materia deberá haber cubierto con anterioridad los créditos de un primer curso sobre Teoría de Conjuntos o el curso titulado ‘Lógica y Conjuntos’. Las lecciones se impartirán los días martes, miércoles y jueves. Cada sesión será conducida en forma de seminario y estará dedicada a la discusión de las lecturas asignadas para cada una de las clases. Los estudiantes deberán estudiar cuidadosamente las lecturas asignadas antes de clase y llegar al salón preparados con preguntas y observaciones para la discusión que deberá surgir como consecuencia de las lecturas.
Los textos básicos del curso son:
1. Abraham A. Fraenkel. Teoría de los Conjuntos y Lógica. México: UNAM. 1976. (Instituto de Investigaciones Filosóficas. Cuadernos # 31);
2. Alberto Dou. Fundamentos de la Matemática. Barcelona: Labor. 1970.
En caso de no contar con ellos en el momento deseado, también pueden ser consultados:
1. Bertrand Russell. Introducción a la filosofía matemática, contenido en: Obras Completas. Madrid: Aguilar. 1973. Vol II, págs. 1263-1390. También editado en forma individual por: Barcelona: Paidos. 1988.
2. Ivor Grattan-Guinness (editor). Del cálculo a la teoría de conjuntos, 1630-1910. Una introducción histórica. Madrid: Alianza Editorial. 1984. (Col. Alianza Universidad # 387).
La evaluación del curso estará determinada por la presentación de tres reseñas; la asistencia continua y puntual; y, la participación activa. Las reseñas deberán ser presentadas escritas a máquina, en papel blanco tamaño carta, a doble espacio. El texto de la reseña deberá tener una longitud mínima de cinco (5) cuartillas y una máxima de siete (7), independientemente de las referencias y notas. No se aceptarán trabajos que no cumplan con estas normas. Para realizar sus reseñas los estudiantes deberán consultar el ensayo publicado por el Prof. Garciadiego (páginas 165 - 180) y mencionado como la primera lectura del curso. Los estudiantes deberán consultar, además, revistas de investigación en historia y filosofía de las ciencias para comprender cómo debe hacerse una reseña. Una reseña aceptable no puede ni debe limitarse a la lectura única del libro asignado.
Las fechas de presentación y las obras a reseñar son:
1. Jueves (22 oct) quinta semana de clases. Richard Dedekind. 1998. ¿Qué son y para qué sirven los números? Madrid: Alianza Editorial. Secciones: “Introducción” y “Continuidad de Números Irracionales”. Págs. 5 - 94.
2. Jueves (26 nov) décima semana de clases. Javier de Lorenzo. 2009. Poincaré. Matemático visionario, politécnico escéptico. Madrid: Nivola. (Col. La matemática en sus personajes, 37); y,
3. Jueves (14 ene) décimo quinta semana de clases. Alejandro R. Garciadiego 1993. Bertrand Russell y los orígenes de las ‘paradojas’ de la Teoría de Conjuntos. Madrid: Alianza Editorial. (Col. Alianza Universidad # 714).
Las calificaciones que se pueden obtener en el curso son:
NP = para aquellos que no hayan presentado alguna de las reseñas en la fecha acordada, no se haya presentado a examen final o tenga menos del 80% de asistencias a clase;
5 = (0 - 5.9), para aquellos que no manejan el material mínimo de la materia;
6 = (6 - 6.9), para aquellos que manejan superficialmente el material que se estudió durante el curso;
7 = (7 - 7.9), para aquellos que manejan adecuadamente el material asignado en clases y no se limitaron sólo a éste;
8 = 8 - 8.9, para aquellos que manejan bien el material asignado en clase y otro complementario;
9 = 9 - 9.5, para aquellos que manejan muy bien material avanzado;
10 = 9.5 - 10, para aquellos que hayan realizado un trabajo extraordinario.
II. TEMARIO
Primera semana de clases (21 – 25 sept)
TEMA 1. INSTRUCCIONES GENERALES.- ¿Qué es la historia de las ciencias y de las matemáticas? Descripción de algunos de los elementos necesarios para llevar a buen término investigación en la historia de las ideas y de algunas de las fuentes a nuestro alcance.
Lecturas:
Alejandro Garciadiego. 1996. “Historia de las ideas matemáticas: un manual introductorio de investigación”. Mathesis III 52 (2010) 163-278.
Thomas Kuhn. 1980. “La historia de la ciencia”, contenido en: Ensayos Científicos. México: Conacyt. 2da ed. págs. 63 - 85.
Segunda semana de clases (28 sept – 2 oct)
TEMA 2. PANORAMA DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS.- A través de una lectura de divulgación se pretende tener un vistazo de algunos de los resultados de la teoría de los números cardinales y ordinales transfinitos. Se discutirán algunas de las alternativas que se tienen para su enseñanza y transmisión.
Lectura:
Alejandro R. Garciadiego y Enrique M. Carpio. 2011. Uno, dos tres, …, infinito, …, y más allá. Madrid: Nivola.
Tercera semana de clases (5 – 9 oct)
TEMA 3. GENERALIDADES.- Bosquejo general de los fundamentos de las matemáticas. ¿Cuáles son las hipótesis básicas de este relato? ¿Cómo se podría sintetizar la ‘interpretación estándar’ de este evento?
Lecturas:
Morris Kline. 1992. El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días, III. Madrid: Alianza Editorial. (Col. Alianza Universidad # 729). Capítulo LI, págs. 1562 - 1602.
Cuarta semana de clases (12 ago – 16 oct)
TEMA 4. ALGUNOS ASPECTOS BIOGRÁFICOS DE CANTOR.- La literatura matemática ha formado una imagen desfavorable de la personalidad de Cantor, llena de mitos y leyendas. Se han presentado diversas interpretaciones de la influencia del padre de Cantor y de las críticas de sus colegas, así como de sus frecuentes estancias en clínicas para enfermos mentales.
Lecturas:
Eric T. Bell. 1945. Los grandes matemáticos. Buenos Aires: Editorial Losada. Capítulo XXIX, págs. 643 - 670.
Ivor Grattan-Guinness. 1992. “Hacia una biografía de Georg Cantor.” Mathesis 82: 153 - 210.
Quinta semana de clases (19 - 23 oct)
Entrega primera reseña
TEMA 5. GENERALIDADES DE LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS CARDINALES Y ORDINALES TRANSFINITOS.- Breve bosquejo de algunos de los resultados más importantes —y que mayores implicaciones han tenido— para el desarrollo de los distintos estudios sobre los fundamentos de las matemáticas.
Lecturas:
Hans Hahn. 1974. “El infinito”, contenido en: James R. Newman (editor). Σ: El Mundo de las Matemáticas. Madrid: Editorial Grijalbo. Vol IV, págs. 384 - 401.
Joseph W. Dauben. 1983. “Georg Cantor y la teoría de conjuntos cantoriana.” Investigación y Ciencia # 83 (Agosto) 82 - 93. [Tratar de imprimirlo a color].
Sexta semana de clases (26 – 30 oct)
TEMA 6. EL GRÜNDLAGEN DE CANTOR.- En este ensayo defiende —con argumentos matemáticos, filosóficos y teológicos— su aceptación del infinito actual como un objeto existente en matemáticas. Expresa sus ideas sobre lo que posteriormente se llamaría la ‘hipótesis del continuo’ y el ‘axioma de elección’.
Lecturas:
Georg Cantor. 2006. Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Escritos y correspondencia selecta. Barcelona: Crítica. (Edición de José Ferreirós. Col. Clásicos de la Ciencia y la Tecnología). “Introducción”, págs. 9 – 78 y 83-157.
Séptima y octava semanas de clases (2 – 13 nov)
TEMA 7. EL BEITRÄGE DE CANTOR.- En esta su obra sintética, Cantor expuso su construcción de los números cardinales finitos y mostró, entre otras cosas, que existen conjuntos cuyo número cardinal no es finito y que poseen características muy diferentes a las de los números finitos.
Lecturas:
Clara H. Sánchez. 2007. “Contribuciones a la fundamentación de la teoría de números transfinitos. Una introducción.” Mathesis III 22: 345 - 385.
Georg Cantor. 1895-1897. “Contribuciones a la fundamentación de la teoría de números transfinitos”. Mathesis III 22 (2007) 387-462.
Novena semana de clases (16 – 20 nov)
TEMA 8. LA TRADICIÓN ITALIANA.- El trabajo de Peano y el de su escuela italiana. Sus intentos por construir un nuevo lenguaje universal, y la elaboración de sus famosos axiomas.
Lecturas:
Giuseppe Peano. 1889. Los Principios de la Aritmética. Oviedo, España: Pentalfa ediciones. 1979. Introducción, versión castellana y bio-bibliografía de Julian Velarde L.
Décima semana de clases (23 – 27 nov)
Entrega segunda reseña
TEMA 9. BURALI-FORTI Y CANTOR: EL ORIGEN DE LAS PARADOJAS.- El estudio de diversas fuentes primarias y secundarias nos permitirán juzgar en que términos Burali-Forti y Cantor pensaron haber descubierto las paradojas de la teoría de conjuntos.
Lecturas:
Cesare Burali-Forti. “Una questione sui numeri transfiniti”, contenido (en inglés) en: Jean van Heijenoort. From Frege to Gödel: a source book in mathematical logic, 1879-1931. Camb, Mass.: Harvard University Press. 1967. págs. 104 - 111 [únicamente págs. 104, 110 - 111].
Alberto Dou. Op. cit., págs. 65 - 68.
Georg Cantor. “Carta a Richard Dedekind del 3 de agosto de 1899”, contenido en: Georg Cantor. 2006. Op. Cit., págs. 259 - 264.
Décimo primera semana de clases (30 nov – 4 dic)
TEMA 10. LOS PRINCIPIOS DE LAS MATEMÁTICAS (1903) DE BERTRAND RUSSELL.- Este libro contiene la primera exposición sistemática y popular de las implicaciones matemáticas de los resultados de las obras de Peano y Cantor. Más importante aún, propone una nueva filosofía de las matemáticas apoyándose en los resultados matemáticos anteriormente discutidos.
Lecturas:
Bertrand Russell. 1959. La evolución de mi pensamiento filosófico. Madrid: Alianza Editorial. 1982 (2da. ed.). (Col. Libros de Bolsillo No. 605). Págs. 6 - 74 y 271 - 295.
Décimo segunda semana de clases (7 – 11 dic)
TEMA 11. EL TEOREMA DEL BUEN ORDEN DE ZERMELO Y ALGUNAS DE LAS POLÉMICAS QUE GENERÓ.- En 1904, Ernst Zermelo demostró, por primera vez, el teorema del buen-orden haciendo uso explícito del axioma de elección. La publicación de esta breve nota provocó fuertes disputas entre matemáticos alemanes, franceses e ingleses, al menos.
Lecturas:
Gregory H. Moore. 1978. “The origins of Zermelo's axiomatization of set theory”. Journal of Philosophical Logic 7: 307 - 329.
No hay clases
12 dic – 3 ene
Vacaciones administrativas
Décimo tercera semana de clases (4 – 8 ene)
TEMA 12. PRIMERAS DISCUSIONES DE LOS PARADOJAS COMO CONSECUENCIA DE LAS POLÉMICAS EN TORNO AL TEOREMA DEL BUEN-ORDEN.- Las paradojas fueron inicialmente conocidas por los miembros de la comunidad matemática como consecuencia de las discusiones en torno a la prioridad de la demostración del teorema del buen-orden.
Lecturas:
Philip Jourdain. 1905. “On a proof that every aggregate can be well-ordered.” Mathematische Annalen 60: 465 - 470.
Henri Poincaré. 1908. Ciencia y Método. Madrid: Espasa-Calpe. (Col. Austral # 409). Libro II. Capítulo III, págs. 111 - 123.
Décimo cuarta semana de clases (11 - 15 ene)
Entrega tercera reseña
TEMA 13. EL SURGIMIENTO DE OTRAS PARADOJAS: LAS SEMÁNTICAS.- Hasta ahora se ha supuesto el desarrollo de las paradojas no lógicas o semánticas como una simple consecuencia directa de las ya descubiertas por Burali-Forti, Cantor y Russell. Sin embargo, la lectura de las fuentes originales nos muestra que otros fueron sus orígenes.
Lecturas:
Jules Richard. 1905. “The principles of mathematics and the problems of sets”, contenido en: Jean van Heijenoort. Op. Cit., págs. 142 - 144.
Alejandro Garciadiego. 2014. “Los orígenes de las paradojas semánticas”, contenido en: Alejandro R. Garciadiego. Infinito, paradojas y principios. Escritos históricos en torno a los fundamentos de las matemáticas. Madrid: Plaza y Valdés. Col. Nuevo Astrolabio, 3. Páginas 241 – 264.
Décimo quinta semana de clases (18 - 22 ene)
Síntesis general y conclusiones.♦