Matemáticas (plan 1983) 2021-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario Filosofía de las Matemáticas

Filosofía de las matemáticas

Hilbert y Gödel: dos perspectivas de la matemática

Presentación

A finales del siglo XIX David Hilbert dio forma a una nueva manera de entender las matemáticas, la cual reflejaba los cambios ocurridos durante dicho siglo. Tal concepción, aún vigente en nuestros días, fue la base filosófica sobre la que escribió el libro Fundamentos de la geometría de 1899, en el que expone un nuevo concepto del método axiomático. El éxito logrado lo llevó a buscar un nuevo fundamento para la matemática clásica, cuyo soporte sería la noción lógica de consistencia. Fue así que en la década de los años 20 desarrolló un ambicioso programa tendiente a fundamentar la matemática clásica (básicamente, el análisis matemático y la teoría de conjuntos), sobre la base de su completa formalización, es decir, su reducción a un mero cálculo simbólico sin significado aparente. Su propósito era lograr una prueba absoluta de su consistencia. Este programa, llamado formalista, vino acompañado por profundas reflexiones filosóficas acerca de la naturaleza de la matemática. Dicho proyecto fue frustrado en gran medida por los trabajos de Kurt Gödel relativos a la incompletud de la aritmética formalizada y las pruebas de consistencia. La situación se presta para contrastar los puntos de vista de Hilbert y Gödel, un defensor del realismo conceptual, y examinar la visión de la matemática que deriva de sus resultados, donde se descubre una ciencia abierta, incompleta e incompletable desde la perspectiva de la axiomática.

El curso se basa en esencia en el libro Hilbert y Gödel: dos perspectivas de la matemática de mi autoría, junto con un sinnúmero de lecturas complementarias.

No como requisitos, pero sí como algo conveniente, están los cursos de lógica matemática y algunos temas que suelen verse en los cursos de teoría de conjuntos e historia de las matemáticas, como lo son el desarrollo de la geometría proyectiva y la teoría de Cantor. Al menos, se espera que los alumnos tengan un vivo interés en comprender el carácter de la matemática actual, el cual es una consecuencia de lo sucedido en la segunda mitad del siglo diecinueve y principios del veinte.

Las plataformas que utilizaremos serán Google Classroom y Meet. Habrá cuatro lecturas con reportes y un ensayo final. Calificación: Reportes 50%, Ensayo 30% Asistencia y Participación 20%.

Las clases podrán ser tomadas de manera asincrónica puesto que subiremos los videos de éstas en la plataforma de Google Classroom como nuevo material, sin embargo, tomen en cuenta que la asistencia y participación en tiempo real afecta su calificación, puesto que el seminario está planeado como una actividad retroalimentativa que necesita de su presencia y sus comentarios.

El domingo 20 de septiembre en la noche su agregarán al Classroom a tod@s aquell@s que estén inscrit@s oficialmente para que puedan conectarse el día lunes 21 de septiembre a la hora de clase. (L@s que quieran ser oyentes favor de mandar correo a Ana).

YA L@S AGREGUÉ AL CLASSROOM, QUIEN ESTÉ INSCRIT@ (O HAYA MANDADO CORREO PARA SER OYENTE) Y NO HAYA RECIBIDO LA INVITACIÓN, MANDAR CORREO A ANA.

Temario

1. La geometría clásica y los cambios habidos en el siglo diecinueve.

1.1 Los Elementos de Euclides.

1.2 la noción clásica de prueba y el punto de vista de Kant.

1.3 Las críticas al punto de vista clásico y las nuevas geometrías.

1.4 Dos eventos en la vida académica de Hilbert y la formación de un nuevo punto de vista.

1.5 Los Fundamentos de la geometría y el sustento conceptual de esta obra.

2. Algunos pasajes en el desarrollo de las matemáticas en el siglo XIX.

2.1 Las geometrías no euclidianas.

2.2 El desarrollo de la geometría proyectiva en el siglo XIX.

2.3 La nueva fundamentación del análisis matemático.

2.4 La teoría de los números transfinitos de Cantor.

2.5 El álgebra moderna.

3. El debate en torno a los fundamentos de la matemática a principios de siglo veinte.

3.1 El logicismo de Frege y Russell.

3.2 Las paradojas en la teoría de conjuntos.

3.3 La teoría axiomática de Zermelo-Fraenkel.

3.4 La propuesta de Hilbert de 1904.

3.5 Poincaré, Weyl y el predicativismo.

3.6 El intuicionismo de Brouwer.

4. El programa de Hilbert.

4.1 La naturaleza de la matemática clásica según Hilbert.

4.2 Nociones ideales y pruebas de consistencia. Sustrato kantiano de la propuesta.

4.3 La intuición del signo.

4.4 El programa sintáctico de Hilbert.

5. La intervención de Gödel.

5.1 El realismo conceptual de Gödel.

5.2 Los teoremas limitativos de Gödel.

5.3 Consecuencias para el programa de Hilbert.

5.4 La cuestión del instrumentalismo.

5.5 Otros problemas relacionados con el programa: el problema de la decisión.

5.6 Reflexiones de Gödel en torno a sus teoremas. Filosofía de la mente.

6. Gödel y la defensa del realismo conceptual.

7. Reflexiones finales: ¿de qué trata la matemática?

Bibliografía básica

Brouwer, Luitzen Egbertus Jan, “Intuitionism and Formalism”, Bulletin of the American Mathematical Society 20, 1913.

- “Intuiutionistic reflections on formalism”, en van Heijenoort, 1967, pp. 490-492.

Cantor, Georg, Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers, Dover Publications Inc., Nueva York, Inc. 1955.

Euclides, The Elements of Euclid. 3 vols., Dover Publications Inc., Nueva York, 1956.

Ewald, William, B., (editor), From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2 vols., Clarendon Press, Oxford, 1996.

Frege, Gottlob, Conceptografía y Los fundamentos de la aritmética, Universidad Nacional Autónoma de México, 1967.

Gödel, Kurt, Collected Works, vol. I: publications 1929-1936, y vol, III: Unpublished Essays and Lectures, Oxford University Press, Nueva York y Oxford, 1969 y 1995.

van Heijenoort, Jean, (editor), From Frege to Gödel, Cambridge, Harvard University Press, Massachusetts, 1967.

Hilbert, David, Foundations of Geometry, Open Court Publishing Co., La Salle, Illinois, 1962.

- “Mathematical problems”, en AMS, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, American Mathematical Society, Vol. 28, 1976, pp. 1-34.

- Fundamentos de las matemáticas (recopilación), Colección MATHEMA, Facultad de Ciencias, UNAM, 2011.

Kant, Immanuel, Prolegómenos, Aguilar, Buenos Aires, 1975.

- Crítica de la razón pura, Alfaguara, Madrid, 1997.

Reid, Constance, Hilbert, Springer-Verlag, Nueva York, 1970.

Russell, Bertrand, Los principios de las matemáticas, Espasa Calpe S. A., Madrid, 1967.

Russell, Bertrand y Whitehead, Alfred, Principia Mathematica (To *56), Cambridge at the University Press, Londres, 1967.

Torres Alcaraz, Carlos, “Kurt Gödel: Ensayos inéditos”, Mathesis, vol. 11, 1995, pp. 251‑282.

- “El segundo problema de Hilbert sobre la compatibilidad de los axiomas de la aritmética”, Miscelánea Matemática, Nº 29, diciembre 1999, pp. 73‑97.

- “Hilbert, Kant y el fundamento de las matemáticas”, Theoria, Revista del Colegio de Filosofía, Facultad de Filosofía y Letras, UNAM, Nº 8‑9, diciembre 1999, pp. 111‑129.

- “De la matemática clásica a la matemática moderna: Hilbert y el esquematismo kantiano”, Diánoia, Vol. LIV, No 63, pp. 37-70.

- Hilbert y Gödel: dos perspectivas de la matemática, Las Prensas de Ciencias, UNAM, 2018.

Wang, Hao, Reflexiones sobre Kurt Gödel, Alianza Editorial, Madrid,1991.

- A Logical Journey. From Gödel to Philosophy, MIT Press, Cambridege, Massachusetts, 1996.