Matemáticas (plan 1983) 2021-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría B

Seminario de Geometría B
Formas diferenciales y foliaciones.

La clase usualmente se da todos los días de 8 a 9 de la mañana. Sin embargo, dado que las clases no serán presenciales, el horario propuesto es el siguiente:

Objetivos:

El objetivo de este curso es dar a los estudiantes una herramienta de gran
utilidad: las formas diferenciales. El enfoque que se dará pone el acento en
la comprensión geométrica del lenguaje de las k-formas y de las k-formas
diferenciales. Para ello, al inicio, nos apoyaremos fuertemente en el libro de V.I. Arnold,
“Mathematical Methods of Classical Mechanics” (capítulo 7). Una vez asimilados
los conceptos de formas diferenciales pasaremos a hacer uso de ellas en variedades.
Veremos la relación que hay de ellas con las ecuaciones diferenciales ordinarias y
la teoría de foliaciones. Daremos nociones básicas de homología y cohomología de
modo que el alumno tenga un primer acercamiento a estos conceptos desde un
punto de vista geométrico. Se verá, a su vez, el Teorema de Frobenius como una
aplicación de la teoría. La organización de los temas será como sigue:

1. k- formas y su interpretación geométrica.
2. Producto exterior de k formas.
3. Formas diferenciales.
4. Formas diferenciales cerradas y exactas.
5. Primer grupo de cohomología de de Rham.
6. Derivada exterior de formas diferenciales.
7. Inducir una forma (“pullback”)
8. Formas diferenciales en superficies y en variedades.
9. Foliaciones y explosión de singularidades haciendo uso de la herramienta de formas.
10. Integración de formas.
11. Lema de Poincaré para 1-formas.
12. Integración en variedades.
13. Conceptos básicos de homología.
14. Teorema de Stokes (general).
15. Teorema de de Rham.
16. Sucesión de Mayer-Vietoris.
17. Teorema de Frobenius.

No se seguirá linealmente un libro, por lo que es fundamental que vayan siguiendo el material del curso con rigor. Algún punto (no muy complicado) de clase se les dejará investigar a los alumnos por su cuenta (esto para evitar cortar el hilo conductor del curso). Las evaluaciones se harán esencialmente con tareas examen, si bien nos reservamos el recurso de poder hacer entrevistas individuales cuando lo consideremos necesario.

Bibliografía.
Se hará uso de los siguientes libros (aunque en el transcurso del semestre se podrá recomendar alguna otra bibliografía):
a) Arnold V.I., “Mathematical Methods of Classical Mechanics” (capítulo 7).
b) Tu L. "An introduction to manifolds", Universitext, Springer Verlag.
c) Morita S., “Geometry of Differential forms”.