Matemáticas (plan 1983) 2021-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Análisis Matemático B

Profesor

Ayudante

Objetivo. Introducir al estudiante a la teoría de distribuciones como una base teórica sólida para el desarrollo moderno del análisis de Fourier, reflejado en las aplicaciones a ecuaciones diferenciales parciales y a fenómenos muy diversos, aparentemente no relacionados. Complementaremos los temas anteriores con la teoría moderna de ondeletas y su conexión directa con el análisis y procesamiento de señales.

Conocimientos previos. El estudiante interesado en tomar el curso debe manejar los conceptos básicos de análisis matemático, como los vistos en los cursos de Análisis Matemático I y Variable Compleja I. Es recomendable haber visto el curso de Análisis Matemático II o un curso que incluya temas de teoría de la medida, análisis funcional y series de Fourier.

Temario

1. Teoría de distribuciones

• Definición de distribuciones y el espacio de funciones de prueba

• Operaciones entre distribuciones

• Soporte de una distribución

• Distribuciones temperadas y transformada de Fourier

• Distribuciones con soporte puntual

• Transformada de Hilbert y soluciones fundamentales

2. Aplicaciones a ecuaciones en derivadas parciales

• Ecuación del calor, núcleos de Poisson en el disco y el semiespacio

• Ecuación de onda, principio de Huygens y ondas esféricas

• Simetría radial y funciones de Bessel

• Ecuación de Schrödinger y principio de incertidumbre de Heisenberg

3. Otras aplicaciones clásicas del análisis de Fourier

• La desigualdad isoperimétrica

• Teorema de equidistribución de Weyl

• Fórmula de sumación de Poisson

• Procesamiento de señales: teorema de Shannon para señales con ancho de banda limitado

• Transformadas de Radon y rayos X

4. Ondeletas

• La transformada de Fourier en ventanas

• La transformada de ondeleta

• Análisis de Haar

• Análisis multiresolución

• Aplicaciones a procesamiento de señales: algoritmos de transformadas rápidas de Fourier, Haar y ondeleta

Bibliografía básica

• Dym, H., McKean, H.P., Fourier Series and Integrals, Academic Press, 1972

• Folland, G.B., Fourier Analysis and its Applications, Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks, 1992

• Stein, E., Shakarchi, R., Fourier Analysis: an Introduction, Princeton Lectures in Analysis, Vol I, Princeton University Press, 2003

• Strichartz, R., A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms. New Jersey:World Scientific, 2003

• Pereyra, M.A., Ward L.A., Harmonic analysis: from Fourier to Wavelets, Student mathematical library ; 63. IAS/Park City mathematical subseries, 2012

Bibliografía complementaria

• Schwartz, L., Mathematics for the Physical Sciences, Dover, 2008

• Korner, T., Fourier Analysis, Cambridge University Press, 1988

• Damelin, S.B., Miller W., The mathematics of signal processing, Cambridge Texts in Applied Mathematics, Cambridge University Press. 2012

• Stein, E., Shakarchi, R., Functional Analysis: Introduction to Further Topics in Analysis, Princeton Lectures in Analysis, Vol IV, Princeton University Press, 2011

• Bachman, G., Narici, L., Beckenstein, E., Fourier and Wavelet Analysis, Springer-Verlag, 2000