Matemáticas (plan 1983) 2021-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Análisis Matemático A

Requisitos: Cálculo diferencial e integral I-IV, ecuaciones diferenciales ordinarias I, análisis matemático I y estar familiarizado con temas básicos de teoría de la medida, es decir, haber tomado análisis II o teoría de la medida I.

Temario:

I. Medidas de Borel y Radon.

• Medidas de Borel regulares y teoremas de aproximación para medidas de Borel.
• Medidas de Radon y propiedades básicas.
• Funciones continuas y medidas de Radon (Teorema de Luisin y densidad de funciones continuas).
• Teorema de Riesz y medidas de Radon vectoriales.
• Convergencia débil*.
• Regularización de medidas de Radon.

II. Medidas de Hausdorff.

• Definición y propiedades elementales.
• Desigualdad isodiamétrica.
• Medida de Hausdorff y mapeos Lipschitz continuos.
• Integración sobre bolas.

III. Funciones Lipschitz continuas.

• Teorema de Kirszbraun.
• Teorema de Rademacher.

IV. Fórmulas del Área y Coarea.

• Fórmula del área y cambio de variables.
• Fórmula de la coarea y cambio de variables.

V. Teorema de la divergencia de Gauss.

• Teorema de la divergencia para conjuntos abiertos con frontera C^{1}.
• Teorema de la divergencia para conjuntos abiertos con frontera casi C^{1}.

VI. Espacio W^{1p} y funciones de variación acotada.

• Funciones de Sobolev (Definición, teoremas de aproximación, trazas, desigualdades de Sobolev y compacidad).
• Capacidad, ecuación de Poisson y p-Laplaciano.
• Funciones de variación acotada (Aproximación y compacidad, trazas, extensiones desigualdad isoperimétrica).

VII. Aplicaciones a ecuaciones diferenciales parciales.

• Existencia y unicidad de soluciones débiles a leyes de conservación escalares. (*)

Notas: Los temas marcados con (*) se impartirán si el tiempo lo permite.

Bibliografía:

• Evans, Gariepy. Measure Theory and Fine Properties of Functions.
• Fanghua, Xiaoping. Geometric Measure Theory-An Introduction.
• Federer. Geometric Measure Theory.
• Krantz, Parks. Geometric Integration Theory.
• Leoni. A First Course in Sobolev Spaces.
• Maggi. Sets of Finite Perimeter and Geometric Variational Problems.
• Mattila. Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces.
• Taylor. Measure Theory and Integration.
• Morgan. Geometric Measure Theory.

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https://www.dropbox.com/s/avw8imo9dfxp45i/Plan_trabajo_2021-1.pdf?dl=0

Discursión del plan de trabajo: https://www.youtube.com/watch?v=RWMSSjI66w8

Presentación del curso: https://www.youtube.com/watch?v=8cdP2OKgjIQ

El lunes 21 de septiembre a las 1600hrs aparecerá el link para la primer reunión en google meet

meet.google.com/dfz-andz-bwb