Matemáticas (plan 1983) 2021-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Lógica Matemática III

En este curso usaremos meet (https://meet.google.com/lookup/cdluserapz) y classrom (qzjroyr) para las sesiones. Además se guardarán las clases en el drive de la clase y se intentará tener unas notas en el mismo lugar.

Como la primer clase será en Meet, traten de usar el correo de la facultad, me parece que no siempre me da un aviso de que alguien que no es parte de la fac quiere entrar. Si hay algún problema intentando entrar escribanme en https://keybase.io/ljtc/chat

Temario

El temario aún está a discusión. En un principio propongo algunos temas y en la primer clase también pueden sugerir temas y decidimos qué queremos ver.

Posibles temas:

1. Una versión débil del teorema de Gödel. Trataríamos de encontrar un enunciado verdadero y no demostrable, como en el teorema original, pero la diferencia es que no daremos algo como "soy indemostrable", el enunciado que encontraremos tendrá sentido matemático.
2. Una introducción a lógica categórica. Como lo dice el título no profundizaremos demasiado en esta teoría que puede ser complicada, pero podemos ver de qué se trata y ver algunas variaciones categóricas, como teoría de topos.
3. Teoría de modelos. Aquí trataríamos de ver lo básico del área, como cadenas, teoremas de morfismos y tal vez algo de teoría de tipos.

Temario

Todos los anteriores, grosso modo:

1. Introducción al lenguaje categórico
2. ¿Como interpretar un lenguaje lógico en una categoría?
3. Un poco de teoría de modelos en categorías
4. Categorías cartesianas cerradas
5. Argumentos diagonales: una demostración de los teoremas de Cantor, de Gödel y la paradoja de Russell

Evaluación

La calificación en principio será el promedio de tres tareas. Pero también puede haber exposiciones que den algún punto extra.

Bibliografía

Para laintrocción al lenguaje categórico:

• Sets for Mathematics de Lawvere y Rosebrugh
• Matemáticas Conceptuales de Lawvere y Schanuel http://www.acsu.buffalo.edu/~wlawvere/concep-3.pdf
• Categories for the Working Mathematician de Mac Lane*

Para la interpretación del lenguaje en una categoría:

• Introduction to Model Theory and Topoi editado por Lawvere, Maurer y Wraith
• Notas de Lógica categórica de Jacob Lurie https://www.math.ias.edu/~lurie/278x.html
• First Order Ctegorical Logic de Makkai y Reyes*
• Sheaves in Geometry and Logic de Mac Lane y Moerdijk

Para la parte de categorías cartesianas cerradas:

• Sheaves in Geometry and Logic de Mac Lane y Moerdijk
• Categories for the Working Mathematician de Mac Lane*
• Adjointness in Foundations de Lawvere
• Unity and Identity of Opposites in Calculus and Physics de Lawvere

Demostración del teorema de Gödel general:

• Diagonal Arguments and Cartesian Closed Categories de Lawvere