Matemáticas (plan 1983) 2021-1

Optativas de los Niveles V y VI, Lógica Matemática I

Sobre la Lógica Matemática...

La Lógica Matemática ocupa un lugar muy especial entre las distintas áreas de las matemáticas. Por un lado, es como cualquier otra rama de las matemáticas en cuanto a los aspectos técnicos; tiene sus propias definiciones, teoremas, aplicaciones, problemas abiertos y una cantidad inumerable de líneas de investigación activas que producen resultados interesantes día con día. Por otro, tiene una relación muy especial con la filosofía y los fundamentos de las matemáticas. A fin de cuentas, el surgimiento de la lógica matemática se debe en buena medida al deseo de los matemáticos de responder a preguntas filosóficas mediante teoremas, usando los métodos y técnicas propios de las matemáticas.

Entre los elementos fundamentales que surgen en el estudio de la lógica matemática están los conceptos de axioma, sistema formal y demostración. A cada una de estas nociones se le asigna un significado técnico preciso (una definición) lo que permite demostrar teoremas sobre estos objetos matemáticos, de la misma forma en que en geometría se demuestran teoremas sobre puntos, rectas y circunferencias.

Tradicionalmente, se reconocen 4 áreas dentro de la lógica matemática: la teoría de conjuntos, la teoría de modelos, la teoría de la computabilidad y la teoría de la demostración. Esta clasificación es útil como una primera guía mental, aunque muy deficiente cuando uno decide entrar en detalles. Cada una de estas áreas se descompone en otro montón de "subramas" y lo más común es que uno se encuentre que no está trabajando en aislamiento en una de estas áreas, sino que siempre se trabaja en algún punto intermedio entre ellas.

Sobre la asignatura...

El objetivo de este curso, en función de ser un primer curso de lógica matemática, es el de introducir mucha de la intuición, conceptos, técnicas y herramientas necesarias para un estudio más profundo de la lógica matemática. Esto se desarrollará siguiendo el temario, a través de estudiar el lenguaje proposicional, asignarle una semántica a través de "asignaciones de verdad" y una sintaxis a través del "cálculo proposicional" para finalmente demostrar los resultados más importantes del curso: el teorema de Compacidad y el teorema de Completud-Correctud (para la lógica proposicional). Sin embargo, todo esto se hará sin perder de vista la relación de la lógica matemática con la filosofía de las matemáticas que se mencionó en la sección anterior, por lo que a lo largo del curso se le dará enfásis a los problemas filosóficos y de los fundamentos de las matemáticas que guiaron el descubrimiento de los conceptos que se estudiarán.

Sobre la metodología del curso...

Como ya sabrán, el curso se llevará a cabo en línea. Se organizará por trabajo semanal, considerando 5 horas de trabajo por semana. Esto incluirá diversas actividades como ver videos, realizar lecturas y sesiones por videollamada únicamente para resolución de dudas (en principio, pienso que una hora por semada de videollamada será suficiente, pero esto podrá aumentarse o disminuirse según sea necesario). De esta forma, la gran mayoría del trabajo se realizará de forma asincrónica y correspondera al alumno organizar sus tiempos de trabajo. Sin embargo, las evaluaciones irán integradas en el trabajo semanal y deberán entregarse en la semana correspondiente, por lo que el trabajo constante será indispensable.

Los detalles sobre la plataforma y las herramientas que se utilizarán se actualizará en esta página con más detalle en el futuro.

Prerrequisitos

No hay ningún prerrequisito en cuanto a conocimientos, pero una porción del material que se utilizará está en inglés. Debido a esto, es recomendable tener habilidades básicas de lectura y comprensión de textos en inglés.

Para cualquier duda o comentario, pueden contactarme a través del correo: antonio.nakid@ciencias.unam.mx