Matemáticas (plan 1983) 2021-1

Optativas de los Niveles V y VI, Geometría Diferencial I

Geometría Diferencial I 4238

Profesor:Eugenio Garnica Vigil

Ayudante:Ángel de Jesús Sánchez López

Lunes a viernes 10:00 - 11:00

Presentación

En este curso de Geometría Diferencial I veremos buena parte del Programa Oficial que aparece en la página de la Facultad.

Los objetos de estudio de la Geometría Diferencial son las n-Variedades diferenciales

y las funciones diferenciales entre ellas. El espacio Euclideano n dimensional es

una n-Variedad que es la base para definir las otras n-Variedades en general.

Estudiaremos solo 1-Variedades, que llamaremos “curvas”, y 2-Variedades que

Llamaremos “superficies”. Estos dos ejemplos serán suficientes para desarrollar muchos

conceptos básicos de la Geometría Diferencial. Para poder desplegar sus propiedades

usaremos como medio ambiente el espacio Euclideano de dimensión 3.

Para comenzar estudiaremos Curvas parametrizadas, y parametrización con respecto a la

longitud de arco. Un caso especial es el de una Curva regular. Veremos los conceptos de Curvatura, torsión y las Ecs. deFrenet-Serret

Después veremos el Teorema Fundamental de la Teoría local de Curvas.

Las curvas son importantes en todo el curso para el análisis de las Superficies.

Veremos la definición de una Superficie regular y ejemplos: la gráfica de una función

diferenciable y la imagen inversa de un valor “regular”. Luego veremos lo que significa

el plano tangente en cada punto de la Superficie y su utilidad.

En particular, con los planos tangentes veremos los Campos vectoriales, con

sus flujos.

Analizaremos la relación de la Superficie con el medio ambiente llamada Geometría

extrínseca en comparación con su Geometría intrínseca. En relación con el medio ambiente

una Superficie regular hereda un producto punto en cada plano tangente. Lo que

permite definir la derivada de un campo vectorial con respecto a otro, un campo vectorial con respecto a una Curva. Tendremos en seguida las geodésicas.

Con relación al medio ambiente estudiaremos la aplicación de Gauss de una Superficie

regular, curvatura, curvatura normal, curvatura geodésica.

Terminaremos con el Teorema Fundamental de la Teoría local de Superficies y

el Teorema de Gauss-Bonnet.

La bibliografía básica también aparece en el programa oficial, aunque en realidad yo me basaré en dos libros muy buenos

Do Carmo “Differential Geometry of Curves and Surfaces in RxRxR”

Prentice Hall

William Boothby “Introduction to Differential Manifolds and Riemannian Geometry”

AcademicPress

Sobre la forma de calificar: habrá tres tareas-examen correspondientes a cada tercera parte del temario. Habrá un examen oral para checar a cada alumno. Las tareas-examen serán el 100% de la calificación.

Otra opción es el examen final, en la segunda vuelta.

Dada la Contingencia, haremos el Curso en línea, en la plataforma Google Classroom.

Para esto les envío los correspondientes códigos:

Teoría: Lunes, Miércoles y Viernes de 10:00 a 11:00 AM

Código de Clase: 2fod2cc

Ayudantía: Martes y Jueves de 10:00 a 11:00 AM

Código de Clase: vbg4q3y

La primera clase a distancia será el 21 de Septiembre. ¡Hasta pronto!