Matemáticas (plan 1983) 2021-1

Quinto Semestre, Análisis Matemático I

Bienvenidos!

Esta es la propuesta del curso:

TEMARIO

1. Los reales como campo ordenado completo.

2. Espacios métricos, espacios normados y espacios con producto interior.

3. Espacios topológicos, funciones continuas y morfimos.

4. Espacios de funciones, convergencia uniforme.

5. Estructura de los espacios de funciones.

Para una descripción más detenida del temario revisar el classroom.

PERSPECTIVA PEDAGÓGICA: Análisis I es un curso retador pero muy gratificante.

1. Comenzaremos motivando la necesidad de construir un conjunto con las propiedades que sabemos tienen los reales. Además, los construiremos a partir del conjunto de los racionales.Posteriormente presentaremos las herramientas necesarias para estudiarlos, las cuales incluyen: teoría de conjuntos y teorías de órdenes.

2. A partir de nuestro estudio de los reales abstraeremos algunas de sus propiedades para definir espacios métricos, espacios normados y espacios con producto interior. Veremos la relación entre estos espacios, así como algunos resultados clásicos sobre ellos. (Heine-Borel, Bolzano-Weierstrass)
3. A partir de nuestro estudio de los espacios métricos resultará natural definir los espacios topológicos, así como las funciones continuas. Nos detendremos a estudiar la topología de los espacios métricos, así como nociones topológicas generales como: compacidad, conjuntos perfectos y conexidad. Estudiaremos las funciones continuas, así como algunas otras funciones que se les asemejan, esto motivara la noción de morfismos en diferentes espacios.
4. Nuestro estudio de las funciones continuas sugerirá naturalmente estudiar la topología de estos espacios, lo cual motivará la noción de convergencia puntual y convergencia uniforme. Estudiaremos la relación entre estas dos nociones.
5. El estudio de la convergencia de funciones motivará un estudio más general sobre la estructura abstracta de estos espacios, junto con algunos resultados clásicos. (Arzela-Ascoli y Stone-Weierstrass)

El curso será amigable para estudiantes con distintas formaciones, las listas de ejercicios serán diseñadas tomando en cuanto la diversidad del grupo.

Se incentiva la participación del grupo, particularmente en el diseño del temario. Esto último a través de encuestas para conocer los intereses de los estudiantes, el nivel de comprensión y la familiaridad general con los temas. En caso de haber solicitud de integrantes del grupo, se puede profundizar en temas que despierten su interés. Por último, existe la posibilidad de incluir un sexto tema en el temario si el tiempo apremia y el grupo así lo desea.

Se ofrece un enfoque didáctico con las siguientes características:

• Se harán comentarios históricos sobre lo que motivó el estudio de los conceptos y resultados que revisaremos,
• Se ofrecerán ejemplos para clarificar las ideas,
• Se hará énfasis en la aplicación de los resultados.

EVALUACION.

Tareas-examen: Se evaluará cada tema con una tarea-examen (habrá la posibilidad de subir un punto extra sobre la calificación correspondiente de cada una).

Lista de ejercicios: Para cada tema se ofrecerá una lista de ejercicios que será entregada para ser calificada.

Promedio: Las calificaciones de los ejercicios se promedian entre ellos para formar una quinta tarea-examen, la cual se promedia con los 5 exámenes parciales y así formar el promedio final. Para aprobar el curso se deben tener 4 o más tareas-examen aprobadas y promedio aprobatorio. La calificación final aprobatoria se asigna bajo el criterio de que 5 o más décimas sube al entero inmediato superior del promedio.

Reposiciones: Si se tienen 4 o más tarea-exámenes aprobadas, se podrá reponer un parcial (esto no incluye la calificación formada por los ejercicios), en cuyo caso se considera la calificación más alta y se vuelve a promediar para obtener la calificación final (para aprobar el curso las calificaciones de todas las tareas-exámenes deben ser aprobatorias).

Examen Final: Se puede presentar examen final en cuyo caso la calificación final queda totalmente determinada por dicho examen. En caso de tener dos o más tareas-examen no aprobadas, para aprobar el curso, se tendrá que presentar un examen final. Es requisito indispensable que el alumno haya presentado TODAS las tarea-examen. El examen final determina por completo su calificación y solo se puede presentar una vez.

Advertencia: La reposición de una tarea examen o el examen final son evaluaciones excluyentes, es decir, sólo se puede presentar o bien reposición, o examen final (no ambos y sólo se presentan una vez).

NP: Si el alumno no presenta dos o más tarea-examen, se considera como no presentado el curso, en cuyo caso tendría NP.

PROPUESTA DE TRABAJO.

Medio de comunicación: Usaremos de manera central Google Classroom. Ahí:

• Se subirá el material.
• Se darán los avisos.
• Se contestarán dudas.
• Se subirán los trabajos de los alumnos.

Clases:

• Lunes, martes y miércoles tendremos clases a través de Google Meet a la hora de clase.
• Los jueves se realizará una sesión de asesorías en el horario de clase a través de Google Meet.
• Los viernes se subirá un video a Youtube con el material de la clase.

Material de apoyo:

• Para cada sesión se ofrecerá la bibliografía de consulta para el tema.
• Se ofrecerán notas con los elementos centrales de la sesión.
• Se subirán ejercicios para reforzar los conocimiento y habilidades adquiridas.

Para ingresar a él es necesario contar con la cuenta de correo electrónico de google que otorga la facultad(@ciencias.unam.mx).

BIBLIOGRAFIA.

Bartle, R. G., Elements of Real Analysis (ediciones varias).

Carothers, N. L., Real Analysis, (ediciones varias).

Clapp, M, Análisis Matemático, México, Papiros, 2015.

Kolmogorov, A N, Fomin, S. V., Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional (ediciones varias).

Rudin, W., Principios de Análisis Matemático (ediciones varias).

Cualquier duda pueden contactarme por correo electrónico: luisdavidr@ciencias.unam.mx o al correo del ayudante.

Atte.

Luis Reyes.