Matemáticas (plan 1983) 2021-1

Primer Semestre, Cálculo Diferencial e Integral I

Aviso del 25 de septiembre de 2020 (22:00 hrs), a quienes quieran llevar el curso:

1.- Como les decía en un aviso anterior, les pedimos a todos que llenen una encuesta inicial, pues queremos tener una idea de la composición del grupo y de las necesidades de equipo que pudieran tener para ver la forma de resolverlo.

2.- Para llenar la encuesta y obtener el enlace a la clase del lunes 28 de febrero, por favor ingresen al Classroom, con la siguiente clave (código de clase): wyfmcsr. La liga de acceso completa es

https://classroom.google.com/c/MTU1ODU3NjAyMTQ5?cjc=wyfmcsr

3.- Todo listo... ¡comenzamos!... los espero el lunes a las 11:00 am.

https://cuaed-unam.zoom.us/j/97706481527

Presentación del curso de Cálculo I

Contenido:

I. Introducción.

II. El esquema general de funcionamiento del curso.

III. La evaluación.

IV.- Orientación y contenido del curso.

V.- Bibliografía.

VI. Y por último…

Nota aclaratoria pertinente: Si solo te interesa ver cómo va a funcionar el curso, puedes perfectamente saltarte la Introducción e ir directamente a los capítulos del II al VI.

I. Introducción

1. Primero que todo, sean bienvenidos todos los interesados en llevar nuestro curso. Con pandemia y sin pandemia, he abierto las puertas a todos los estudiantes que desean inscribirse en él, sin más condición que su interés en estudiar el cálculo y su disposición a entrarle a todo el trabajo que implica aprenderlo a un buen nivel, según mi modesta opinión al respecto.

2. Hay cosas que podrán cambiar con la pandemia; pero hay otras que no, por lo menos en lo que a este curso se refiere. No comparto la idea de disminuir el número de horas de clases presenciales necesarias para aprender bien la materia (así sea por internet) ni “rebajar” las evaluaciones. Pienso que la universidad hace un daño mayor a sus estudiantes si abarata la educación que reciben (la cual está obligada a impartirles por lo demás). La educación pública en general, y la que imparte la UNAM en particular, además de ser absolutamente gratuita, debe ser una educación que garantice una sólida formación de sus estudiantes. Esto es algo que hemos defendido durante décadas –tengo más de 46 años como profesor de nuestra facultad– y la pandemia no afloja nuestra convicción, más bien la refuerza.

3. No comparto las teorías que provienen de las experiencias de “educación a distancia” previas a la pandemia, y que se han expuesto en algunas de las conferencias impartidas en las semanas del intersemestre en la facultad –varias de ellas las he escuchado con atención a pesar de no haberme registrado–, según las cuales “un curso a distancia debe alejarse de la idea de un curso presencial impartido en línea”, “los profesores deben reducir al máximo el tiempo de clases sincrónicas, más bien deben grabar algunos videos breves y dejar trabajos para que los resuelvan los estudiantes”. Lamento mucho que diversas instancias de gobierno de nuestra facultad se hayan adherido a estas teorías, particularmente pensando en los estudiantes de primer ingreso.

4. La educación a distancia anterior a la pandemia era una opción pensada para estudiantes que no podían asistir regularmente a una clase, sino ir aprendiendo los contenidos conforme fueran pudiendo hacerlo. Existen distintos proyectos de universidad a distancia en el país. Conozco personalmente a varios profesores que trabajan o han trabajado como tutores en algunos de estos proyectos. Y hay un punto en el que todos coinciden: el nivel de preparación que adquieren los participantes, por lo menos en el área de matemáticas, es incomparable en muchos aspectos –por decir lo menos de sus propias expresiones– al que reciben los estudiantes inscritos en el sistema tradicional. Varios de ellos han llegado a comentar que difícilmente un egresado de dichos cursos aprobaría las materias de los cursos presenciales –con excepciones, como siempre. Loable el propósito de estos proyectos de buscar una alternativa para los muchachos que no pueden acudir a clases ni seguir el ritmo de una universidad “presencial”; pero cuestionable el resultado de lo que realmente se ofrece. Esto no tiene que ver con los propios profesores que allí laboran –mucho menos con sus estudiantes–, sino con el proyecto mismo, que desde hace tres años se ha estado rediscutiendo a la luz de estos resultados.

5. La elaboración de videos previos a las clases condensando lo básico del material que los alumnos deben aprender, viene a ser como elaborar notas de clase con una cámara y un micrófono presentes. Eso está muy bien. Mejor aún si se elaboran libros bien trabajados que expliquen con amplitud los temas correspondientes (mismos que pueden reelaborarse con exposiciones con imagen y voz –para algunos alumnos puede ser preferible, para otros no–). Pero la universidad no puede reducir su proyecto educativo a entregar a sus alumnos los materiales que deben aprender, abrir algunas sesiones de aclaración de dudas, dejarles trabajos y proceder a evaluarlos (por lo demás, sin tener mayor cuidado en constatar responsablemente si quien elaboró los trabajos fue realmente quien recibe la calificación correspondiente). Eso es casi como plantear que la universidad es un proyecto educativo solo para los estudiantes autodidactas.

6. No está mal que los estudiantes autodidactas puedan recibir el reconocimiento correspondiente por la universidad (siempre y cuando, repito, sea muy estricta la institución en constatar con profesionalismo que en realidad adquirieron una formación comparable con la que exige a sus estudiantes en general). El detalle es que estamos hablando de menos del 1% de los estudiantes. Reducir (la UNAM) su responsabilidad docente a hacer eso –sin pandemia y con pandemia–, significa en la práctica desentenderse de la formación profesional en serio de prácticamente todos sus estudiantes; lo cual solo puede sostenerse si se flexibilizan las calificaciones sensiblemente –pues de otra forma, el número de reprobados sería enorme. Y ahí tenemos entonces la combinación perfecta del fraude educativo: yo me desentiendo de tu formación, tú puedes obtener mi reconocimiento sabiendo lo básico –o bien presentando los trabajos o exámenes que te pida, sin yo tener elementos acerca de si fuiste tú realmente quien los hizo o los respondió.

7. Al revés de lo que se plantea como recomendación, pienso que debemos hacer nuestro mayor esfuerzo por lograr que los cursos en esta situación de aislamiento impuesto por la pandemia sean lo más parecido posible a los cursos presenciales. Nada sustituye el contacto humano, el ambiente de discusión y de compañerismo que puede crearse cuando todos compartimos un mismo espacio, el aprendizaje de los otros, la información que ofrece al profesor el observar las reacciones de sus alumnos a sus preguntas o sus explicaciones, el entusiasmo que puede transmitir en su materia teniéndolos delante a ellos y no a una pantalla de computadora. Pero por ahora eso no es posible, y debemos hacer nuestro mayor esfuerzo por rescatar hasta donde podamos todos esos rasgos de la educación presencial –incluyendo la interacción entre los propios estudiantes.

8. Me parece que nuestros cursos en esta situación deben ser más bien concebidos como “cursos presenciales en línea” dirigidos a estudiantes inscritos en la materia que acuden a clase en el horario respectivo, no como “educación a distancia” para estudiantes que no pueden llevar clases en horarios bien definidos, constantes y cotidianos (aunque a ellos mismos puede servirles lo que se propone). Esto presupone mucho más trabajo por parte del profesor para poder lograrlo –o acercarse un poco a ello–, pero esa es en mi opinión nuestra responsabilidad. Particularmente, de los profesores de tiempo completo.

9. Debo decir que ya a estas alturas, lo que estoy planteando no es lo que “me imagino” debería ser. Desde la semana misma en que se suspendieron las clases presenciales en la facultad (tercera semana de marzo), empezamos a dar las clases en línea (entonces, Cálculo IV). Y dimos la clase todos los días de lunes a sábado, dos horas diarias (los sábados a veces más). Los videos completos, las notas que se iban escribiendo en clase y los chats que registraban las preguntas, ideas y comentarios escritos de los alumnos se subieron todos los días también.

10. Mi balance, después de comentar con los muchachos y con no pocos profesores, es inequívoco: clases, interactuar todos los días con los alumnos, discusión con ellos de los contenidos, tratar de que sean parte del redescubrimiento y construcción de los conceptos, los resultados, los ejemplos y los contraejemplos, los argumentos y las pruebas; clases, debate, discusión de ideas, no solamente conferencias a distancia sobre “líneas generales” de la materia. La debilidad en mi caso estriba en mi falta de experiencia para lograr la misma participación de los alumnos en la discusión por estos medios, pero hay que trabajar en ello, pues si logramos irlo resolviendo, se podría abrir una alternativa más allá de la pandemia para decenas de miles de muchachos que año con año son rechazados, pero que sí quieren y pueden asistir regularmente a sus clases, trabajar en sus materias, discutir con el profesor y sus compañeros, hacer todo igual que como si hubieran sido aceptados, recibiendo una educación de un nivel comparable (aunque perdiéndose, no hay duda, de muchos otros elementos esenciales en su formación como ser humano que aporta la convivencia cotidiana que se vive en las universidades). Eso, en el proceso mismo en que se lucha porque las universidades públicas de una vez por todas amplíen sus matrículas, sus instalaciones y su planta docente para recibir a todos los jóvenes que tocan a sus puertas; el país genera recursos suficientes para eso y más, el detalle es que haya la disposición de tomar medidas para que se distribuyan como debe ser.

11. Desde luego todo esto presupone que los estudiantes tienen posibilidades de acceder a los cursos digitalmente (básicamente, requieren de preferencia una tableta –si es posible con lápiz electrónico– o una computadora o por lo menos un celular adecuado, y una red de internet conveniente en el domicilio en que toman la clase). Según las estadísticas que han presentado las autoridades de la facultad, este es el caso de la gran mayoría de nuestros alumnos. Y, según se ha informado oficialmente, se han tomado medidas para garantizar que quienes no tienen esos recursos básicos puedan contar con ellos. Lo primero que haremos en nuestro curso es un censo, para saber cuál es la situación de nuestros alumnos a este respecto. Y entre todos buscar soluciones para los que no cuenten con los recursos indispensables.

II. El esquema general de funcionamiento del curso

Lo planteado en la introducción permite entender entonces la línea general con la que funcionaremos:

1. Las clases serán todos los días, de lunes a sábado, de 11:00 a 13:00 horas. (El horario de los sábados se puede modificar de común acuerdo entre todos los participantes, dado que son pocos los cursos que realmente se imparten ese día –a pesar de aparecer en los horarios oficiales–). Todos los días, todas las clases serán “presenciales en línea”: no “videos breves elaborados por el profesor” sin interactuar con los alumnos; no “notas de clase”, no “secciones de libros”, no “lecturas recomendadas” en lugar de la clase. Por supuesto habrá videos, notas y lecturas. Pero todo eso, en tal caso, es el “plus”. Si el grupo está de acuerdo, los videos de cada clase se subirán al Google Drive para que puedan ser consultados en cualquier momento; y las notas de cada día se subirán igualmente a la página, junto con los chats con ideas y preguntas planteadas por los alumnos conforme transcurre la clase. En cuanto a la lectura, no preocuparse: habrá muchas más recomendaciones de las que pueden imaginarse.

Los sábados el grupo se partirá en subgrupos de entre 35 y 40 alumnos, cada uno de los cuales será atendido por uno de los ayudantes. El plan general de las ayudantías es discutir con equipos de trabajo que habrán de formarse al principio del semestre (4 a 7 integrantes cada uno), ejercicios generales que recojan el trabajo realizado durante la semana (al margen de que, naturalmente, en cada clase se irán haciendo ejercicios también). Los problemas a abordar en las ayudantías son discutidos semana a semana por el profesor con los ayudantes.

2. Cada vez que concluyo el ciclo de cursos de Cálculo I, II, III y IV, invito a quienes llegaron hasta el final a que participen como asesores voluntarios de la nueva generación. En esta ocasión, esa labor será especialmente importante, dado el aislamiento impuesto por la pandemia. Si en general la adaptación de los estudiantes al estudio de la matemática como ciencia –el paso del bachillerato a la facultad–, resulta muy difícil (particularmente en el caso del cálculo), en estas condiciones será más difícil aún. Por eso se requiere buscar muchas formas de acompañar a los muchachos de nuevo ingreso en este proceso.

Hemos tenido hasta el momento de escribir estas líneas 3 reuniones de trabajo el profesor, los ayudantes y todos los estudiantes que aceptaron en esta ocasión la invitación a convertirse en asesores. Han participado de 30 a 32 compañeros en estas reuniones. Ese es el equipo que estará a cargo de impulsar este curso de Cálculo I.

Esas reuniones han sido muy productivas: en el balance de los cursos que unos y otros compañeros llevaron durante los primeros seis meses de la pandemia y en las propuestas a la luz de estas experiencias y de su propia reflexión. En cuanto al balance, fue abrumadora su conclusión cuando se puso a discusión si era conveniente sustituir por lo menos algunas de las clases en línea por videos elaborados previamente: clases en línea. Y en cuanto a las propuestas, se hicieron un número muy grande de ellas. Transcribo algunas:

1. Cada asesor tendrá asignado un equipo y trabajará (estudiará) con él una vez a la semana, explicando los problemas de las tareas –no resolviéndolos, por supuesto– y orientando en tal caso la solución de alguno de ellos.

2. Se abrirán horarios en que algunos de los asesores estarán “disponibles” para que cualquier alumno del grupo le pregunte sus dudas.

3. Abrir un buzón de dudas, para que todo alumno pueda hacer las preguntas que desee más allá de la clase. Las más particulares, se responderán por escrito. Las más generales, que pueden ser de interés de todos, se abordarán en las ayudantías (o incluso en la clase misma).

4. Un estudiante propuso echar a andar con todos los interesados un “Taller de Lectura” los fines de semana, para estudiar el libro Un acercamiento a los fundamentos del Cálculo.

5. El curso está pensado para los alumnos que puedan asistir todos los días a clase. Subrayo: no está pensado para alumnos que no pueden asistir regular y sistemáticamente a clase. Pero considerando que para quien quiera ubicar las grandes líneas de avance en la semana podría resultar mucho trabajo ver 12 horas de videos –por ejemplo, para prepararse para el examen final o incluso los exámenes parciales–, se propuso hacer un video semanal con una síntesis breve de lo fundamental visto en esa semana.

6. Varios asesores se apuntaron para hacer pequeños “video clips” explicando la solución de algún problema interesante y difícil, o un procedimiento que se detecte que le cuesta particular trabajo a los alumnos entenderlo y aplicarlo bien.

7. Se abrirá un correo (salvavidas_calculo@...) para aquellos alumnos que sientan que tienen muchas lagunas y requieran un apoyo especial. Algunos asesores se apuntaron para estar al tanto de ello.

Habrá una reunión semanal de trabajo de todo el equipo (profesor, ayudantes y asesores) para ir haciendo un seguimiento lo más personalizado posible del avance de los alumnos, a la vez que ir abordando los problemas más difíciles de las tareas y las recomendaciones pedagógicas ante las dificultades que vayan enfrentando en su labor todos los asesores.

III. La evaluación

La evaluación consta de tres partes: Una, el trabajo en las tareas, que se desarrollará en equipos de 4 a 7 integrantes. Otra, los exámenes parciales, que serán individuales. Y otra más, la evaluación del profesor, los ayudantes y los asesores en función de la participación de cada alumno en clase, en las ayudantías o en las discusiones de su equipo asistidas por los asesores.

Por cada tema del curso habrá una tarea y un examen parcial. Las tareas –cada una de las cuales podrá dividirse en varias “entregas”, para no dejar acumular el trabajo– valdrán el 35% y los exámenes el 65%. Y para quienes quieran reponer algún examen parcial no aprobado –a lo más dos– o subir su calificación final, habrá un primer examen final escrito.

Pero dadas las irregularidades que pudieran presentarse en condiciones en que los alumnos no elaboran sus exámenes estando presentes el profesor y/o los ayudantes –y dada la experiencia a este respecto del semestre anterior, narrada por diversos profesores y alumnos–, la calificación deberá revalidarse al final en un examen oral. Éste podrá exentarse o ser simplemente “de trámite”, si el profesor, los ayudantes y los asesores consideran que la calificación obtenida es fiel a la trayectoria del alumno. En caso de no tener elementos sólidos al respecto o encontrar alguna inconsistencia (hacia arriba o hacia abajo), el examen oral será obligatorio (a mayor promedio en todas las evaluaciones previas, más ligero el examen).

IV. Orientación y contenido del curso

Desde los primeros años que impartí la materia, me fui convenciendo de que las dificultades en la adaptación a los cursos de la facultad –en particular al cálculo, pero no solamente– comienzan con el lenguaje mismo que se utiliza en ellos, el uso sistemático de la lógica formal, el hábito de demostrar todo lo que se afirma –cuestión fundamental de toda actividad científica–. Esto toma tiempo, debemos entenderlo, partir de ello. Pero es tiempo bien invertido, es algo que allana el camino posterior en todas sus materias a los estudiantes, en todos los semestres –de hecho, en toda su vida profesional–.

Por otra parte, es esencial –esencialísimo, diría yo– la comprensión de dos temas en los que descansa el concepto que juega el papel de columna vertebral del cálculo (me refiero al concepto de límite, a la idea de convergencia): esos temas son el infinito y los números reales. A mi parecer, estos temas reciben una atención demasiado superficial en el programa oficial de la materia, y los estudiantes acaban “pagando aduana” después por no haberse detenido en ellos.

Y hay otro elemento a tomar en cuenta: el papel de los cursos de cálculo en la formación matemática de los estudiantes de física, matemáticas, actuaría y matemáticas aplicadas, es demasiado importante como para reducirlos a la enseñanza de ciertos procedimientos y técnicas de solución de determinados problemas (integración, diferenciación, series, límites). Debemos preocuparnos por desarrollar la capacidad de los alumnos para traducir geométricamente –o físicamente– resultados más o menos complicados; y de descubrir por ellos mismos nuevos resultados. Sacarle filo a su intuición, a la vez que entrenarlos en el encadenamiento de largas secuencias de razonamientos lógicos que les ayuden a demostrar lo que conjeturen que es verdadero. Está claro que esto es algo que no se logra en un semestre, que lo irán desarrollando a lo largo de toda su carrera. Pero indudablemente los cursos de cálculo juegan un papel fundamental en eso: no de balde deben cursarlos durante la mitad de los semestres que duran sus carreras y representan un número de créditos cada uno igual a casi el doble de cualquier otra materia.

Llegar a clase y escribir un teorema, hacer la prueba y dar algunos ejemplos de cómo se aplica, puede ser bastante rápido. Pero llegar, formular una idea general sobre la cual reflexionar posibles resultados, recoger las propuestas, plantear contraejemplos que muestren las debilidades de las mismas y orienten los siguientes pasos a dar en la formulación de las hipótesis necesarias del resultado buscado, reproduciendo el ciclo hasta llegar a un resultado final sólido, robusto, pulido; y entonces sí, enunciarlo con precisión y probarlo formalmente –lo cual ya está prácticamente resuelto en la discusión previa–, es algo que toma mucho más tiempo. Pero es algo que puede resultar muy valioso –por lo menos en un serie de resultados– si buscamos que los estudiantes no simplemente se enteren de la matemática. sino que la redescubran y que sean capaces de hacer matemática, de crear matemática.

Todo lo anterior nos plantea que el curso de cálculo I está principalmente orientado a construir bien los cimientos, las columnas y las trabes; no solo en términos de los conceptos básicos –que sí–, sino del desarrollo mismo del pensamiento matemático, avanzando simultáneamente en el manejo de las ideas geométricas, lógicas, algebraicas y físicas; intuitivas y formales. No pretendo decir que todo esto está garantizado, que todo sale maravillosamente, ni mucho menos; sino simplemente que me guío con esa idea. No son pocas las veces que termino una clase con el sinsabor de que no me salió como hubiera querido, que no me gustó, que pude haberla dado mucho mejor. Esa es la realidad.

Pero aclaro todo lo anterior también por dos motivos particulares:

Primero, para que se sea consciente de que este primer curso tiene entonces una orientación fundamentalmente “teórico-formativa”. El cálculo es quizás la rama de las matemáticas con más aplicaciones prácticas, y eso no aparece aquí. Quienes decidan llevar el curso, deberán tener paciencia. Pues para el trabajo con aplicaciones realmente relevantes, se requiere haber adquirido una preparación en la materia también relevante. (Para ir avanzando en el terreno de las aplicaciones, quiero recomendarles un texto recién publicado (Infinite powers: How Calculus reveals the Secrets of the Universe, de Steven Strogatz, Ed. Houghton Mifflin Harcourt, 2019), muy ameno y que da un buen panorama del universo de aplicaciones actuales del cálculo. Si pueden, vayan leyéndolo –y disfrutándolo– mientras avanzamos en el curso, pues no requieren demasiadas herramientas para seguirle el paso.)

Y segundo, que todas las cuestiones planteadas en los primeros párrafos de este apartado, hacen que el avance durante las primeras semanas sea más lento: toma tiempo esto de “familiarizarse con el lenguaje”, agarrarle la onda a lo de los razonamientos lógicos, involucrarse con los procesos y conjuntos infinitos, entender qué son, qué resuelven, cómo están estructurados y cómo operan los números reales. Y si a eso le agregamos que el “semestre” para los estudiantes de primer ingreso en esta ocasión, será aún más reducido que el “semestre” usual (15 semanas de clase en lugar de 16), con el agravante de que al terminar tendrán dos semanas para presentar sus exámenes finales y luego no habrá período intersemestral alguno (terminan un viernes el primer semestre y comienzan el lunes siguiente el segundo semestre). Esto aprieta aún más el temario –además de tener que avanzar sin estar todos juntos en clase, para acabarla de amolar–. Si algo no alcanzara a cubrirse como debe de ser, se cubrirá en el curso de cálculo II, que contará con un tiempo más holgado para desarrollarse bien. En general, pienso que los cursos de cálculo I y II deben verse como un todo.

Hechas todas estas aclaraciones, paso ahora a plantear en grandes rasgos los temas del curso:

1. (A) Conceptos preliminares

(i) Conjuntos.

(ii) Cuestiones básicas de lógica.

(iii) Funciones

(iv) Sucesiones y series.

(B) Conjuntos infinitos

(i) Aparentes contradicciones lógicas en la comparación entre conjuntos infinitos. Pasajes de la historia.

(ii) Los hoteles de Hilbert.

(iii) Primeras definiciones y propiedades.

(iv) Conjuntos numerables.

(v) Los racionales y los irracionales: un primer acercamiento.

(vi) Los reales: un primer acercamiento.

(vii) Conjuntos no numerables. Infinitos grandes y pequeños.

(ix) Tres preguntas importantes. La historia detrás de toda esta historia.

2. Los números reales

(A) ¿Qué pretenden resolver?

(B) Dos grandes formas de entenderlos, definirlos y trabajar con ellos:

(i) Las expansiones decimales y en otras bases.

(ii) El modelo axiomático.

(C) El problema de la completez: su enorme importancia, formas alternativas de resolverlo, y sus consecuencias.

(D) Lo cuántico en la física y el continuo en la matemática: algunos comentarios… de grandes físicos.

3. Las funciones de los reales a los reales

(A) Definición, operaciones, conceptos y propiedades básicas.

(B) Análisis geométrico: razonamientos cualitativos.

(C) La rapidez con la que una función tiende a cero o a infinito: su sentido geométrico.

(D) Estudio de grandes familias de funciones:

(i) Polinomios.

(ii) Funciones racionales.

(iii) Funciones trigonométricas.

(iv) Funciones exponenciales.

(v) Funciones logarítmicas.

(vi) Funciones peculiares.

4. El concepto de límite (la idea de convergencia) columna vertebral del cálculo. De lo heurístico a lo formal.

(A) Límite de sucesiones.

(i) La idea del concepto. Discusión sobre su formalización paso a paso. Discusión sobre su negación.

(ii) Propiedades básicas: su comprobación.

(iii) Ejemplos múltiples, utilización de los criterios de convergencia.

(iv) Límites infinitos: los resultados que dan sustento formal al análisis heurístico de la convergencia y la divergencia.

(v) Series convergentes y divergentes. Tres casos de particular importancia.

(B) Límite de funciones.

(i) La idea del concepto. La construcción paso a paso de dos definiciones alternativas (sucesiones y vecindades). Su equivalencia. Discusión sobre la negación de cada una de ellas.

(ii) Propiedades básicas: el límite de las operaciones básicas entre funciones.

(iii) El límite de la composición de funciones: análisis geométrico y formal.

(iv) La rapidez con la que una función tiende a cero o a infinito. Las indeterminaciones. El sentido de su solución. El análisis heurístico y su respaldo formal.

(v) Ejemplos múltiples.

5. La continuidad de las funciones.

(A) Continuidad en un punto.

(i) Su importancia, su relación con los números reales, su historia.

(ii) Dos definiciones alternativas a partir de su vínculo estrecho con el concepto de límite.

(iii) Ejemplos de diversas formas de discontinuidad, el razonamiento de la negación de la definición en cada caso.

(iv) Continuidades y discontinuidades de funciones peculiares: la función de Dirichlet, la función de Thomae, …

(v) Teoremas básicos de continuidad. El caso de la composición.

(B) Cinco teoremas fuertes de continuidad (en un conjunto).

(i) Discusión del papel de cada hipótesis de los resultados, consecuencia de la ausencia de alguna de ellas, y pruebas formales. Algunos comentarios de la historia de algunos de ellos.

(ii) Ejemplos y contraejemplos múltiples.

(iii) Posibilidades de generalizaciones.

6. Visión general de la derivada.

(i) La idea de razón de cambio, de crecimiento relativo, de variación instantánea, de pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función.

(ii) La definición formal.

(iii) Teoremas sobre las operaciones.

(iv) Teoremas fuertes: panorama general.

V. Bibliografía

Nunca seguí un texto en particular en ninguno de los cursos que impartí. Más bien, fui elaborando notas desde el principio de cada curso conforme me iba haciendo una idea de qué era necesario en el contexto particular de nuestros estudiantes de carne y hueso, y de cómo “me iban llevando” en la discusión los alumnos de cada grupo. Una generación tras otra iba elaborando una versión nueva de las notas de cada curso, llegando a acumular al paso de los años una cantidad enorme de hojas escritas.

(1) En el año de 2012 empecé a escribir un primer texto con la idea de llenar de contenido la etapa inicial de los cursos de cálculo. Un texto que abordara, con un nivel razonable de profundidad y de amplitud, las dudas que fueron surgiendo al paso de los años en una u otra generación sobre diversos problemas relacionados con los fundamentos del cálculo.

El libro, publicado por Fomento Editorial de la UNAM, salió a la venta en febrero de 2017.

Se comprenderá que si ese fue el objetivo del libro, este forma parte esencial del curso que imparto sobre la materia.

El libro lleva el nombre de Un acercamiento a los fundamentos del cálculo. El infinito y los números reales.

No se piense que la recomendación del libro tiene interés económico alguno de mi parte. No está de más que diga que yo cedí todos los derechos del mismo a la UNAM, de modo que no recibo ni un centavo por cada ejemplar que se distribuye. Si lo propongo es porque sinceramente creo que puede ayudarles en el curso (y a los alumnos de todos los cursos).

(2) Hay varios libros clásicos y otros de aparición más reciente que sirven muy bien para acompañar unas u otras partes del curso. Haré una lista de algunos de ellos, a reserva de que sobre la marcha les vaya sugiriendo otras lecturas en cada tema (las ediciones de los libros de la lista, son las de ejemplares que yo tengo físicamente, pero por supuesto que cualquier otra edición funciona bien):

(a) Sagan, Hans: Advanced Calculus. Houghton Mifflin Company, 1974.

(b) Apostol, Tom M.: Calculus, vol. 1. Wiley International Edition, 1966. (Existe la traducción al español)

(c) Spivak, Michael: Cálculo. Editorial Reverté, 1981.

(d) Courant & John: Introducción al cálculo y el análisis matemático. Limusa, 1979.

(e) Hairer & Wanner: Analysis by its History. Springer-Verlag, 1996.

(f) Little, Charles; Teo, Kee; van Brunt, Bruce: Real Analysis via Sequences and Series. Springer, 2010.

(g) Menger, Karl: Calculus, A Modern Approach. Dover, 2007.

(h) Baron, Margaret E: The Origins of the Infinitesimal Calculus. Dover, 1987.

(i) Kline, Morris: El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Alianza Editorial, 1992.

(j) Edwards, Charles Jr: The Historical Development od the Calculus. Springer-Verlag, 1979.

(k) Boyer, Carl: The History of the Calculus and its Conceptual Development. Dover, 1959.

(i) Grabiner, Judith: The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus. Dover, 2005.

VI. Y por último…

Esta experiencia, provocada por la pandemia, es nueva para todos nosotros. En general, planteo a mis alumnos que casi todo lo propuesto es modificable, que lo iremos moldeando conforme avancemos. Ahora lo hago con mayor razón… Siéntanse en confianza de plantear las cosas que quisieran fueran de otra forma, y entre todos vamos viendo. Por nuestra parte, muy probablemente haya cosas que cambiar, si al avanzar percibimos que no funcionan bien o podemos mejorarlas en general.