Física (plan 2002) 2020-2

Sexto Semestre, Mecánica Analítica

Introducción: El curso de mecánica analítica es quizá el más importante de la carrera de física. No sólo sienta las bases para los demás cursos teóricos al definir “fuerza” y “energía”, conceptos clave en física, sino que además presenta una forma de resolver los problemas al plantearlos como problemas de minimización (o maximización). ¿Cuál es la trayectoria que debe seguir una partícula que se encuentra bajo la acción de un campo cualquiera (gravitatorio, eléctrico, magnético, etc.)? La respuesta a esto puede verse como la trayectoria que minimiza (o maximiza) algo que se conoce como “la acción”. Esto da como resultado la formulación de Lagrange de la mecánica (equivalente a la formulación de Newton). Sin embargo, la formulación de Lagrange no es la única que se puede obtener de un principio variacional, otra opción es la formulación de Hamilton (que básicamente es un cambio de coordenadas).

Con estas dos formulaciones durante el curso se resolverán varios problemas que se trataron (o debieron tratar) en el curso de mecánica vectorial con el fin también de adquirir cierta práctica. Una vez adquirido el entrenamiento necesario con estas dos formulaciones se resolverán algunos problemas nuevos. Algunos de los nuevos problemas planteados no se podrán resolver analíticamente (algo que en algunos casos se demostrará), por lo que será necesario hacer uso de la computadora o de teorías de perturbación para dar una solución aproximada.

El curso se dividirá en 3 secciones (y por lo tanto 3 exámenes). Formulación Lagrangiana, formulación Hamiltoniana y Tópicos avanzados (no necesariamente tan avanzados).

Temario:

1ra Sección: Formulación de Lagrange

• Introducción (repaso de mecánica vectorial)

• Coordenadas generalizadas y principio de mínima acción (resumen de cálculo variacional)

• Lagrangiana de una partícula

  • Movimiento libre

  • Movimiento bajo un campo

  • Oscilador armónico simple

  • Fuerza de fricción

• Lagrangiana de un sistema de partículas

  • Colisiones

  • Problema de dos (o más) cuerpos

  • Osciladores acoplados

• Simulaciones computacionales parte 1

• Movimiento de un sólido

  • Ángulos de Euler

  • Rotaciones infinitesimales

  • Fuerza de Coriolis

  • Tensores y problema de valores propios

  • Solución al problema del giróscopo (precesión, nutación, etc.)

2da Sección: Formulación de Hamilton

• Transformaciones de Legendre y ecuaciones de Hamilton (otra vez resolver algunos de los problemas previos)

• Transformaciones Canónicas

• Invariantes canónicos y teoremas de conservación (paralelismo con mecánica cuántica y la formulación de bra-ket’s)

• Simulaciones computacionales parte 2

• Teorema de Liouville

• Formulación simpléctica

3ra Sección: Tópicos avanzados

• Ecuación de Hamilton-Jacobi

  • Oscilador Armónico

  • Separación de Variables

  • Variables Ángulo-Acción 1 grado de libertad

  • Ángulo-Acción sistemas totalmente separables

  • Problema de Kepler en variables de Ángulo-Acción

  • Otros problemas tratados con la teoría de Hamilton Jacobi

• Teoría de perturbaciones (dinámica no lineal)

  • Dependiente del tiempo

  • Independiente del tiempo

  • Invariantes adiabáticos

• Teorema de Noether

• Introducción a la Dinámica No Lineal

• Simulaciones computacionales parte 3

Evaluación del curso: Exámenes. Habrá 3 exámenes que representarán 100% de la calificación. Los exámenes saldrán de las tareas que se asignarán (Entre 60 y 100 problemas en el semestre).

No habrá reposición de examen, pero podrán incrementar su calificación con un proyecto final.

Metodología: La mayoría de las clases serán mediante exposición en el pizarrón. Aproximadamente un tercio de las clases serán con salón invertido, es decir, en casa estudiarán los temas y en la clase se resolverán ejercicios de la tarea (los alumnos pasarán al frente a resolverlos). Unas pocas clases serán con el uso de la computadora. Es por lo tanto recomendable tener acceso a una computadora donde puedan instalar Julia. Además de las clases, habrá un google classroom donde se compartirá material (notas, libros, videos, tareas, etc) y donde también podrán hacer preguntas sobre el curso en sí y los temas del curso.

Bibliografía: Se irán aportando varios textos durante el curso, pero son básicos:

Goldstein, H., 1980, Classical mechanics, Addison­Wesley, Read. Mass.

Landau y Lifshitz, 1985, Mecánica, Vol. 1, Ed. Reverté

Thorton and Marion, 2004, Classical Dynamics of particles and systems, Ed. Thomsom

Sommerfeld, A., 1952, Mechanics, Lectures on theoretical physics, Vol. 1, Academic Press,