Matemáticas (plan 1983) 2020-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Lógica Matemática II

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La lógica matemática puede ser estudiada desde diversos enfoques. Uno de ellos es verla como un aréa propia de la matematica, con sus propias técnicas y preguntas importantes. Otra forma de abordar la lógica matemática es como un compendio de tecnicas, herramientas y fenómenos aplicables a la matemática clásica. Este curso pretende abordar la lógica desde el segundo enfoque, brindando al alumno una serie de conocimientos que le permitan conocer como aplicar algunas tecnicas de la lógica matemática en otras aréas de la matemática. La teoría de modelos ha demostrado gran utilidad aportando la prueba de la conjetura de Mordell-Lang; nuevos enfoques para el estudio de los espacios métricos como el espacio universal de Urysohn; permitir un puente para el estudio de la dinámica de ciertos grupos a partir de propiedades tipo Ramsey; etc. Debido a estos antecedentes se piensa que esta puede ser una buena manera de estructurar el curso, no como una rama más si no como una seríe de herramientas con ciertas caracteristicas.

(A) Lenguajes formales;

(1) Construcción de lenguajes formales;

(2) Construcción de los lenguajes de primer orden; y

(3) Extensión de los lenguajes de primer orden a lenguajes infinitarios ( conjunciones contables).

(B) Introducción a la teoría de modelos;

(1) Interpretación de los lenguajes de primer orden e infinitarios y consecuencia lógica;

(2) Morfirsmos, algunas equivalencias y diagramas;

(3) Teoría de Fraïssé;

(4) Extensiones y encajes elementales; y

(5) Teoremas de Lowemheim-Skolem (-Tarski).

(C) Sintaxis de los lenguajes;

(1) Un sistema formal de deducción para la lógica de primer orden;

(2) Teorema de completud-correctud para la lógica de primer orden;

(3) Teorema de compacidad para la lógica de primer orden; y

(4) Observaciones sobre estos metodos para lenguajes infinitarios.

(D) Análisis de Scott [OPCIONAL,

dependiendo de los conocimientos de los inscritos];

(1) Juegos entre estrcuturas;

(2) Isomorfismos parciales;

(3) Enunciado de Scott; y

(4) Teorema de Scott.

(E) Saturación;

(1) Tipos de una estructura;

(2) Estructuras saturadas; y

(3) Modelos monstruo.

(F) Teoría de modelos para estructuras métricas;

[Este tema solo es contemplado en el ÚNICO

caso en que TODOS los inscritos hayan cursado o esten cursando análisis matemático I]

Requisitos,

(A) NO ES NECESARIO haber cursado lógica 1, este curso será totalmente autocontenido;

(B) Para aprovechar mejor el curso es importante que el alumno se encuentre en la segunda mitad de su carrera, los ejemplos serán sumamente importantes, espacio métrico, relación de equivalencia, espacio vectorial, espacio normado, grupo, anillo, campo, etc. Solo emplearemos las nociones básicas;

(C) ES DESEABLE que el alumno haya cursado teoría de los conjuntos 1.

Bibliografía,

El curso no se basa eb un libro en especifico.

(A) Tent, Ziegler.

(B) Marker. Model theory.

(C) Hodges. Model theory.

(D) Fraïssé.

(E) Amor.

(F) Mendelson.

(G) Marker. Infinitary model theory

(H) Yaacov, Bernstein, Henson, Usvyatsov. Model theory for metric structures