Matemáticas (plan 1983) 2020-2

Quinto Semestre, Análisis Matemático I

En este curso estudiaremos aspectos topológicos de los espacios métricos, algunos ejemplos e importantes consecuencias. Hacia el final discutiremos la integral de Riemann-Stieltjes.

Temario
Seguiremos el temario oficial (disponible aquí) agregando los primeros dos temas.

1. Los números reales. Axiomas y existencia. Teoremas fundamentales: el Principio de los Intervalos Cerrados Anidados, el Teorema de Heine-Borel para intervalos cerrados y acotados y el Teorema de Bolzano-Weierstrass. Topología en R. Sucesiones de números reales, límites inferior y superior. Series de números reales.
2. Los números complejos. Construcción. Series y sucesiones de números complejos.
3. Espacios Métricos. Continuidad, Nociones topológicas básicas, Convergencia, espacios métricos completos, Teorema del punto fijo, compleción de espacios métricos, conexidad.
4. Convergencia uniforme. Criterio de Cauchy, Espacios métricos completos, Compatibilidad de la convergencia uniforme con la derivada y la integral.
5. Compacidad. Teorema de Heine-Borel, Teorema de Arzelá, aplicaciones
6. Teorema de aproximación de Weirstrass. Demostración y aplicaciones.
7. Integral de Riemann-Stieljes. Definición y resultados básicos.

Evaluación
Tres exámenes. 20% cada uno (hay reposición)
Trabajo escrito y exposición. 20%
Tareas 20% (basta con el 75% de las tareas aprobadas para contar con el 20%)

Ayudantías
Los ejercicios de las ayudantías y las tareas serán publicados, salvo la primera semana, con una semana de anticipación en la página del curso.

Página del curso
Los ejercicios de las ayudantías, las tareas y la bitácora del curso estarán disponibles aquí.

Bibliografía
Seguiremos principalmente el libro de W. Rudin. En algunos temas, sin embargo, nos basaremos más en el libro de M. Clapp.

• T. Apostol. Análisis Matemático. (2006) Segunda edición. Ed. Reverté.
• R. Bartle. Elements of Mathematicas Análisis. (1976) Segunda Ed. Wiley & Sons.
• M. Clapp. Análisis Matemático. (2017) Segunda Ed. Instituto de Matemáticas, UNAM.
• A. N. Kolmogorov, S.V. Fomin. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. (1961/1999) Dover Publications.
• H. Royden. Real Analysis. (1998)Tercera edición. Prentice Hall, 1988.
• W. Rudin. Principles of Real Analysis. (1976) Tercera edición. McGraw-Hill Education.
• V. Zorich. Mathematical Analysis I. (2016) Segunda edición. Springer.