Matemáticas (plan 1983) 2020-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría A

Grupos de Reflecciones y grupos de Coxeter

Por definición un grupo de reflexiones es un subgrupo finito de un grupos ortogonal O(R^n), generado por reflexiones. Se pueden describir explícitamente en terminos de generadores y relaciones que estan parametrizadas por gráficas de Coxeter. Ejmplos imortantes son los grupos de Weyl de un álgebra de Lie semisimple. Estos grupos tienen una estructura combinatoria muy rica que es por si sola intersente, y la vez es fundamental para muchos aspectos de teoría de representaciones.

Temas a tratar:

1) Reflecciones, raíces, sistemas positivos y simples, generación por reflecciones simples, función de longitud, generadores y relaciones

2) Subgrupos parabólicos, polinomio de Poincaré, complejo de Coxeter

3) Gráficas de Coxeter y clasificación, grupos cristalográficos

4) Invariantes polinomiales de los grupos de reflecciones: Teorema de Chevalley, módulo de covariantes, factorización del polinomio de Poicaré, elementos de Coxeter

5) Grupos afines de reflexiones: Definiciones, alcobas, diagramas de Dynkin extendidos

6) Grupos de Coxeter: Sistemas de Coxeter, representación geométrica, raíces y reflecciones, oden de Bruhat, serie de Poincaré

7) Älgebras de Hecke y polinmios de Kazhdan-Luszig (si el tiempo lo permite)

Referencia:

J.E. Humphreys: Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge studies in advanced mathematics 24, CUP 1997