Matemáticas (plan 1983) 2020-1

Segundo Semestre, Cálculo Diferencial e Integral II

Introducción histórica

Uno de los problemas clásicos de la matemática consiste en calcular áreas. Calcular el área de una región poligonal es comparativamente fácil. Sólo hay que trazar líneas auxiliares que la dividan en triángulos. Sumando las áreas de estos triángulos se obtienen el área de la figura dada al principio.

Cuando el borde no está formado sólo por rectas sino también por algunas curvas, el procedimiento anterior ya no es tan sencillo y hay que recurrir a aproximaciones. ¿Cómo determinamos, por ejemplo, el área de un disco circular o de un segmento de parábola? Esta cuestión crucial, fue tratada desde el siglo III a. de C. por Arquímedes de Siracusa, quien calculó tales áreas mediante un proceso ideado casi un siglo antes por Eudoxo y que se conoce con el nombre de método de exhaución. Consiste en inscribir, en la región cuya área se desea calcular, una región poligonal que la aproxime. Al aumentar el número de lados de la región poligonal, puede hacerse que su área difiera, tan poco como se quiera, de la figura original. Procediendo de esta manera, Arquímedes pudo agotar gradualmente toda la región y obtener el área del círculo y el segmento parabólico.

Durante el siglo XVII se trataron exitosamente muchas regiones suaves. En cada una de ellas, el cálculo del área era el límite de las áreas de una sucesión de regiones poligonales escogidas adecuadamente, esta operación dependía de artilugios ingeniosos que se adaptaban al problema particular. Uno de los grandes logros de la matemática fue remplazar estos procedimientos especiales y restringidos por un poderoso método general.

Gradualmente el método de exhaución fue transformándose en lo que hoy conocemos como Calculo Integral, potente disciplina que tiene aplicaciones en numerosas ciencias y no sólo en problemas relativos a áreas y volúmenes.

Objetivo

Nuestro curso será un espacio para conocer, aprender y ejercitar los conceptos y las aplicaciones elementales del cálculo integral en una variable.

Comenzaremos con la construcción de la integral de Riemann para después fundamentar con rigor los métodos clásicos de la integración. Desarrollaremos, con propiedades de la integral, las funciones exponencial y logaritmo, además de algunos métodos de integración que usan estas funciones. Evidentemente, una parte importante de nuestro curso es el cálculo de áreas y volúmenes con propiedades de la integral.

En el tema de integrales impropias, optaremos por una versión que unifica los límites impropios de funciones y propiedades de la integral. Por último, los conceptos de series numéricas y series de funciones serán presentados en su versión más sencilla como series de potencias.

Evaluación

A lo largo del curso publicaremos listas de ejercicios correspondientes a los temas que vayamos cubriendo durante la clase. Estas listas no cuentan para la calificación; empero, los problemas que aparecerán en las evaluaciones parciales serán variaciones de algunos ejercicios incluidos en las tareas. Estamos convencidos de que la calificación del examen deben estar en función del estudio destinado a la resolución de las tareas, en contraposición a los que consideran que las puntuaciones dependen de ocurrencias geniales.

Con el objetivo de que la mayoría obtenga una excelente calificación, prestaremos suficiente asesoría para la resolución de las tareas. Además, mediante créditos extra, tendrán la oportunidad de sumar hasta 1.5 puntos adicionales al promedio general.

---

Agrimensura, Diego Rivera [1923], Fresco 3.08/3.33 m.

En la escena aparecen cuatro hombres que realizan trabajos de agrimensura, cuya función es medir y delimitar áreas. En sus manos portan instrumentos de precisión, como el teodolito, odómetro y balizas, símbolos de los avances tecnológicos empleados en beneficio de la sociedad.

Esta obra reconoce el valor de los conocimientos empíricos y científicos, los cuales se conjugan para desarrollar el pensamiento del ser humano nuevo, quien marcará la pauta y los límites de su propio progreso.