Física (plan 2002) 2020-1

Optativas, Topología y Geometría Diferencial para Físicos

TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL PARA FÍSICOS.

Horario: lunes, miércoles y viernes de 1:00pm a 2:00pm, salón P204

Google Classroom: Aquí se subirán las tareas, material, referencias, y se darán comunicados. Acceder con su cuenta @ciencias.unam.mx, usando el código hgme4l

INTRODUCCIÓN:

Es muy común que los estudiantes piensen que el papel de la Geometría en la Física termina con la Relatividad General, lo cual es completamente falso. La Cosmología y Mecánica (clásica y cuántica) son teorías basadas explícitamente en la Geometría Diferencial. Además, el Modelo Estándar es una teoría formulada con bases geométricas, específicamente, ésta se crea a partir de haces principales, haces asociados, representaciones lineales de grupos de Lie y métodos de cuantización. También Supersimetría, Supergravedad y la Teoría de Cuerdas son modelos basados en la Geometría Diferencial, aunque por las características de ésta última (variedades de Calabi-Yau) es común utilizar también métodos de Topología Algebraica y Geometría Algebraica. Más aún, actualmente hay investigaciones que tratan de dar una formulación de la Termodinámica usando Geometría Diferencial y la Geometría Cuántica o Geometría Diferencial No-Conmutativa es una (relativamente nueva) rama que parece ser muy prometedora para describir a la naturaleza a escala de la longitud de Planck; siendo así una teoría alternativa a la Teoría de Cuerdas. Albert Einstein creía que toda la Física puede “geometrizarse” y parece ser que no estaba equivocado…

Como el lector ya se habrá dado cuenta, el estudio de la Geometría Diferencial es muy vasto y sus aplicaciones a la Física también; no es cosa de un semestre. Por tal motivo, el propósito de este curso es familiarizar al estudiante con los conceptos básicos de Topología y Geometría Diferencial para que un futuro, ya sea por ellos mismos o tomando otros cursos, puedan aprender y manejar la Geometría de las teorías físicas de su interés.

REQUISITOS:

Es necesario haber cursado y aprobado los Cálculos 1, 2, 3 y 4, Álgebra Lineal 1 y Ecuaciones Diferenciales.

TEMARIO:

1. Topología (2 semanas)

1.1 Conceptos básicos. Funciones continuas y transformaciones entre espacios topológicos.

1.2 Bases y Axiomas de Numerabilidad.

1.3 Espacios Hausdorff.

1.4 Conexidad.

1.5 Compacidad.

2. Variedades Diferenciales (4 semanas).

2.1 Variedades suaves.

2.2 El espacio tangente, el haz tangente y la diferencial de una función.

2.3 Campo vectoriales y flujos. El corchete de Lie y la derivada de Lie.

2.4 Subvariedades.

2.5 Introducción a grupos de Lie.

3. Formas Diferenciales (4 semanas).

3.1 El álgebra tensorial, el álgebra exterior y el álgebra simétrica.

3.2 El espacio cotangente y el haz cotangente.

3.3 El álgebra de las formas diferenciales.

3.4 Integración en variedades.

4. Geometría Riemanniana y Pseudo-Riemanniana (4 semanas).

4.1 El espacio de Lorentz.

4.2 Métricas Riemannianas y Pseudo-Riemannianas.

4.3 Conexiones y Derivada Covariante. Los símbolos de Christoffel y la conexión de Levi-Civita.

4.4 Curvatura.

5. Aplicaciones a la Física (4 semanas).

5.1 Relatividad Especial y General.

5.2 Cosmología.

5.3 Geometría Simpléctica y Mecánica.

5.3 Haces Principales y Teorías de norma. Electromagnetismo como teoría geométrica.

5.4 Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones.

5.5 Grupos espinoriales y Geometría Espinorial.

5.6 Haces asociados y el Modelo Estándar.

5.7 Introducción a la Geometría Cuántica o Geometría Diferencial No-Conmutativa.

EVALUACIÓN:

La evaluación será mediante tareas (60%) y exposiciones (40%). Habrá una tarea de aproximadamente 20 ejercicios por cada unidad, que se entregaran individualmente. Las exposiciones serán individuales o en equipo (dependiendo de la cantidad de alumnos) y serán sobre los temas de la unidad 5 o algún otro de interés del estudiante (o los estudiantes), ya sea que se haya visto en las unidades anteriores o no. Las exposiciones se prepararán con ayuda del maestro y/o ayudante y se presentarán en la clase. Esto se hace pues el objetivo final de este curso es que en el futuro el estudiante pueda por sí solo hacer el paso de "matemáticas abstractas" a "las teorías físicas" que sean de su interés. Por supuesto que quién así lo solicite, podrá ser evaluado al 100% con un examen final.

BIBLIOGRAFÍA:

1

Carlos Prieto de Castro, Topología Básica, Fondo de Cultura Económica, México, 2018.

James Munkres, Topología, Prentice Hall, Segunda Edición, España, 2002.

2

Oscar A. Palmas Velasco y Héctor Sánchez Morgado, Geometría Riemanniana, UNAM, 2008.

Jefrey M. Lee, Manifolds and Differential Geometry, American Mathematical Society, EUA, 2000.

Barret O’Niell, SEMI-RIEMANNIAN GEOMETRY whith applications to Relativity, Academic Press, EUA., 1983.

John M. Lee, INTRODUCTION TO SMOOTH MANIFOLDS, EUA, Tercera edición.

3

Serge Lang, Algebra, Board, Tercera edición, EUA., 2002.

Loring W. Tu, An introduction to Manifolds, Springer, Segunda edición, EUA, 2011.

Jefrey M. Lee, Manifolds and Differential Geometry, American Mathematical Society, EUA, 2000.

Barret O’Niell, SEMI-RIEMANNIAN GEOMETRY with applications to Relativity, Academic Press, EUA., 1983.

4

Manfredo Do Carmo, Riemannian Geometry, EUA., 1992.

Barret O’Niell, SEMI-RIEMANNIAN GEOMETRY whith applications to Relativity, Academic Press, EUA., 1983.

Jefrey M. Lee, Manifolds and Differential Geometry, American Mathematical Society, EUA, 2000.

Frank Morgan, Riemannian Geometry, A beginner’s Guide, Johns and Bartlett Publishers, EUA, 1993.

5

Dependiendo de los temas a exponerse