Matemáticas (plan 1983) 2020-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Topología II

Topología II-Introducción a la topología algebraica.

En este curso se hará una primera introducción a la topología algebraica, especialmente a la teoría de homotopía.

El temario del curso será:

1. Variedades topológicas.
2. Homotopía.
3. Grupo fundamental.
4. Aplicaciones cubrientes.

​El primer tema se enfocará en el estudio de las variedades topológicas con y sin frontera. Se analizaran sus propiedades topológicas, las formas de construir nuevas variedades a partir de otras. También se estudiarán las propiedades de sybvariedad y encajes de variedades. Finlmente, se estudiará el caso particular de las superficies y se verá el teorema de clasificación.

En el segundo tema se verá el concepto de homotopía, concepto que es de gran importancia, tanto para la topología algebraica como para otras áreas de las matemáticas. Se verán en esta parte nociones como espacios contraíbles, equivalencias homotópicas y se centrará principalmente en el estudio de las homotopías de aplicaciones del circulo en sí mismo.

Para la tercera parte se estudiará el grupo fundamental de un espacio topológico basado en un punto, objeto fue introducido inicialmente por Poincarè. Se analizarán algunas propiedades que tiene como un invariante topológico y homotópico. El resultado principal de esta sección será el Teorema de Seifert-Van Kampen.

Para la parte final se verán las aplicaciones cubrientes: clases especiales de mapeos continuos, que tienen propiedades importantes de levantamiento de trayectorias y, en general, de levantamientos de funciones continuas. Se estudiarán las relaciones del grupo fundamental de los espacios base y total y el objetivo de esta sección será el estudio del teorema de la aplicación cubriente universal y sus implicaciones con respecto al grupo fundamental.

La evaluación del curso se realizará por medio de examenes, uno por cada tema.

La bibliografía base del curso es: Topología Básica, Carlos Prieto de Castro, Fondo de Cultura Económica, segunda edición.

También se recomiendan los libros:

• Introduction to Algebraic Topology, J. Rotman, Springer.
• Algebraic Topology From a Homotopical Point of View, M. Aguilar S. Gitler y C.Prieto , Springer.