Matemáticas (plan 1983) 2020-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario Matemáticas Aplicadas I

Seminario de Matemáticas Aplicadas II

Sistemas dinámicos, series de tiempo y electroencefalogramas (Teórico-Práctico)

Profesora: M. en C. Alexandra Guzmán Velázquez

Ayudante: M. en C. Óscar Ambrosio Valdés

Introducción

La neuronas son las unidades funcionales del sistema nervioso y su actividad se manifiesta como un fenómeno eléctrico. Este es el resultado de la dinámica de las corrientes iónicas, generada a través de la membrana plasmática de la neurona, a partir de las diferencias de potencial existentes entre el cuerpo de la misma y el espacio extracelular. El electroencefalograma (EEG) es el método de diagnóstico clínico, que permite registrar esta pequeña señal, detectando la actividad eléctrica resultante de un gran conjunto de neuronas. Esta actividad se puede medir a través de electrodos coloca­dos estratégicamente en la superficie de la cabeza e incluso sobre o al interior de distintas zonas del cerebro (“CoEEG” y “SEEG” respecti­vamente). Para el EEG de superficie normalmente se utiliza una distribución standard de 20 electrodos que registran en forma simultánea la actividad eléctrica de las zonas correspondientes del cerebro. La señal se encuentra en el rango de los micro-voltios y debe ser amplificada varios órdenes de magnitud. Es interesante destacar que, a menudo artificios pronunciados se originan por ligeros movimientos de los electrodos y por contracción de los músculos ubicados debajo de éstos.

Desde sus inicios el EEG toma un lugar de preponderancia en la clínica médica, ya que se trata de un estudio no invasivo (“scalp EEG”), repetible a voluntad y de ba­jo costo. En el análisis de las señales EEG se pretendió desde un principio medir con exactitud el contenido espectral de la actividad electroencefalográfica, dada las influen­cias que tenían factores tales como la glucemia, el nivel de hormonas, la edad, ciertos medicamentos, etc., sobre las frecuencias de las series temporales de los registros EEG. Sin embargo, actualmente este análisis se ha basado principalmente en la inspección visual del registro. Es decir, la calidad del diagnóstico ha dependido de la habilidad para interpretarlo y la experiencia de] especialista. La interpretación clínica del EEG ha intentado relacionar los rasgos patológicos (sintomatología clínica) con el reconocimiento de patrones del EEG, a través de la inspección visual. Si bien el análisis tradicional ha sido útil, la inspección visual del EEG es subjetiva y de difícil sistemati­zación. A fin de sortear estos inconvenientes, el análisis cuantitativo del EEG (qEEG) introduce mediciones objetivas que reflejan las características de la actividad cerebral tanto como su dinámica asociada. Sin embargo, se debe subrayar que estos métodos no han sido desarrollados para substituir el análisis visual tradicional del EEG sino, más bien, para complementarlo.

Nota: Este curso es llamado Teórico-Práctico porque se tomarán muestras de los alumnos por medio de un encefalograma y ellos mismos analizarán sus resultados con base en la teoría planteada en el temario.

Temario

1. Electrofisiología de las neuronas

1.1. Potencial de Nernst, de membrana y de acción

1.2. Modelo de Hodgkin-Huxley. Modelo de FitzHugh-Nagumo

2. Actividad celebral y EEG

2.1. EEG Cuantitativo. Análisis frecuencia y Tiempo-Frecuencia

2.2. Análisis con técnicas de dinámica no lineal

3. Sistemas dinámicos no lineales

3.1. Sistemas dinámicos. Atractores y atractores extraños caóticos.

3.2. Exponentes de Lyapunov. Dimensiones generalizadas.

4. Series temporales.

4.1. Estacionariedad. Reconstructor de atractor. Elección tiempo de retardo, dimensión de inmersión mínima y dimensión de correlación

4.2. Evaluación del exponente de Lyapunov máximo para seres temporales. Limitaciones del cálculo de la dimensión de correlación y del exponente de Lyapunov máximo. Caoticidad

5. Análisis Tiempo-Frecuencia

5.1. Transformada de Fourier. Transformada de Gabor. Transformada Wavelet continua y discreta. Análisis wavelet de series temporales

5.2. Aplicaciones a registros EEG. Series temporales EEG. Series EEG y Epilepsia. Toma de muestras en tiempo real y análisis del EEG.

Evaluación

• Trabajos y tareas 60%

- Tareas prácticas 20%

- Tareas teóricas 20%

- Reporte lecturas 20%

• Exposiciones 20%

• Participación 20%

Bibliografía

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