Matemáticas (plan 1983) 2020-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Geometría Riemanniana I

Presentación

Este curso es una introducción a la geometría diferencial de las variedades. Según el programa oficial, los temas son los conceptos básicos de las variedades riemannianas, el estudio de las geodésicas y la curvatura, una introducción a las subvariedades riemannianas, así como el estudio de la completez geodésica, de las formas espaciales (curvatura seccional constante) y una introducción a los grupos de Lie. Pudiera parecer un temario ambicioso, pero trataremos de cubrirlo todo en la medida de lo posible. En particular, vimos algunos de estos temas el semestre pasado, en el contexto de las superficies en el espacio euclidiano, pero ahora los extenderemos al caso de las variedades “abstractas” y de dimensión (finita) arbitraria.

Prerrequisitos

Es muy conveniente que los estudiantes tengan nociones sólidas de topología general, ecuaciones diferenciales ordinarias, álgebra lineal y un poco de análisis.

Horario y salón

9-10, P-207; de lunes a jueves con Oscar; con Alberto.

Calificación

Durante el semestre habrá cuatro exámenes parciales. Salvo causas de fuerza mayor, cada examen se realizará de 9 a 11 horas (sin excepciones) y las fechas serán:

Primer examen parcial (Variedades riemannianas): Viernes 30 de agosto.

Segundo examen parcial (Conexiones, isometrías, geodésicas): Viernes 27 de septiembre.

Tercer examen parcial (Geodésicas, curvatura y campos de Jacobi): Viernes 25 de octubre.

Cuarta calificación parcial: Tarea examen sobre los teoremas de Hopf-Rinow y Hadamard. Ejercicios 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11 y 12 del capítulo 7 del libro de Geometría Riemanniana de do Carmo. Fecha de entrega: Lunes 25 de noviembre, el día de la primera vuelta.

Como preparación para cada examen parcial, daremos una lista de problemas de los cuales elegiremos algunos para dicho examen. Pueden consultar las tareas en mi página de la Facultad:

http://academicos.fciencias.unam.mx/oscarpalmas/

Al final del semestre podrán reponer a lo más un examen parcial, o bien presentar el examen final.

Fecha de las reposiciones o del examen final: Lunes 2 de diciembre, día de la segunda vuelta.

La calificación final será el máximo entre el promedio de los exámenes parciales, el promedio de los exámenes parciales contando la reposición si la hubiere y la calificación del examen final.

La calificación mínima aprobatoria será 6.0
Las calificaciones finales 6.5, 7.5, 8.5 y 9.5 “suben” a 7, 8, 9 y 10 respectivamente.

Bibliografía

El libro de texto usual, y en el cual está basado el temario oficial, es el libro de do Carmo (ver referencias), aunque hay muchos otros libros interesantes. Como libro de cabecera yo recomendaría el libro de O’Neill, pero ya sabemos que en gustos se rompen géneros.

do Carmo, Riemannian Geometry

Lee, Riemannian Manifolds, An Introduction to Curvature

Guillemin, Pollack, Differential Topology

O’Neill, Semi-Riemannian Geometry,

Warner, Foundations of Differential Geometry and Lie Groups,