Matemáticas (plan 1983) 2020-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Ecuaciones Diferenciales Parciales II

Introducción al análisis funcional y a las ecuaciones diferenciales parciales.

El curso está orientado a estudiantes interesados en análisis funcional, análisis armónico, física-matemática y ecuaciones diferenciales parciales.

Requisitos:

• Necesarios: Cálculo diferencial e integral I-IV, Álgebra lineal I y Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I.
• Recomendables: Análisis Matemático I, Ecuaciones Diferenciales Parciales I o Cálculo de Variaciones.

Temario:

I. Herramientas básicas de Análisis.

• Teorema de diferenciacion de Lebesgue y algunos resultados en espacios L^{p}.
• Funciones de prueba (convolución y regularizadores, particiones de la unidad y funciones de corte).
• Teorema B.L.T.
• Espacios de Hilbert.
• Espacios de funciones Hölder continuas.

II. Teoría de Distribuciones.

• Definición y ejemplos.
• Cálculo con distribuciones (multiplicación por una función suave, derivada y cambios de variable).
• Convergencia con distribuciones.
• Distribuciones con soporte compacto.
• Convolución con distribuciones.
• Producto tensorial de distribuciones. (*)
• Transformada de Fourier y distribuciones temperadas.
• Aplicaciones a ecuaciones diferenciales parciales (soluciones fundamentales y Teorema de Malgrange-Ehrenpreis).

III. Principios variacionales básicos.

• Elementos de cálculo variacional (derivadas de Frechet y Gateaux, ecuación de Euler-Lagrange, principio de Dirichlet y Lagrangianos nulos).

IV. Espacios de Sobolev.

• Derivadas débiles y definición de espacio de Sobolev.
• Teorema de cambio de variables en espacios de Sobolev.
• Teorema de traza y sus consecuencias.
• Teoremas de aproximación en espacios de Sobolev.
• Caracterización de espacios H^{k} con transformada de Fourier.
• Teoremas de encajes.
• Teorema de compacidad de Rellich-Kondrachov.

V. Ecuaciones elípticas de segundo orden.

• Formulación débil de problemas de valores en la frontera.
• Desiguadades de Poincaré.
• Existencia y unicidad (teorema de Stampacchia y teorema de Lax-Milgram).
• Ejemplos (problemas de Dirichlet, Neumann, etc).
• Aplicaciones a elastostática lineal.
• Regularidad de soluciones.
• Método de Galerkin (Teorema de punto fijo de Brouwer y Teorema de Minty-Browder en espacios de Hilbert). (*)

Nota: Los temas marcados con (*) se abordarán si el tiempo lo permite.

Bibliografía:

• Adams, Fournier. Sobolev Spaces.
• Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis.
• Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations.
• Chipot. Elliptic Equations: An Introductory Course.
• Ciarlet. Linear and Nonlinear Fuctional Analysis with Applications.
• Dautray, Lions. Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology.
• Duistermaat, Kolk. Distributions.
• Eskin. Lectures on Linear Partial Differential Equations.
• Evans. Partial Differential Equations.
• Folland. Real Analysis.
• Hörmander. The Analysis of Linear Partial Differential Operators I.
• Gel'fand, Shilov. Generalized Functions Vols I-II.
• Kesavan. Functional Analysis.
• Kesavan. Topics in Functional Analysis and Applications.
• Kreyszig. Introductory Functional Analysis with Applications.
• Lax. Functional Analysis.
• Mitrea. Distributions, Partial Differential Equations, and Harmonic Analysis.
• Reed,Simon. Methods of Modern Mathematical Physics Vol I.
• Salsa. Partial Differential Equations in Action.
• Sobolev. Some Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics.
• Schwartz. Mathematics for the physical sciences.
• Wong. Partial Differential Equations: Topics in Fourier Analysis.

Evaluación:

• El curso se evaluará con 50% tareas quincenales y 50% exámenes parciales (al menos 3). Habrá una tarea-examen que contará como examen parcial y tarea quincenal al mismo tiempo.
• El alumno tendrá derecho a la reposición de un parcial.
• Habrá un examen final para el alumno que lo requiera. Éste se dividirá en dos exámenes presenciales de cuatro horas cada uno y una tarea-examen. El promedio final será el promedio de estas tres evaluaciones.

Editado el 23/07/2019