Matemáticas (plan 1983) 2020-1

Optativas de los Niveles V y VI, Ecuaciones Diferenciales II

Primero se dará un repaso a sistemas de ecuaciones usando el capítulo I del Perko, enfatizando los casos de matrices de 2x2. Después se dará el temario oficial:
http://www.fciencias.unam.mx/asignaturas/163.pdf, podemos dar algunos otros temas dependiendo de los intereses del grupo. También se usará algo de software computacional incluyendo Cocalc (que incluye Python, Sage y Maxima). En principio serán tres o cuatro exámenes parciales y un examen final.

1.-Repaso: Capítulo I del Perko.

2. Teoremas fundamentales

2.1 Teorema de existencia y unicidad, continuidad y diferenciabilidad ante variaci´on de par´ametros y condiciones iniciales.

2.2 Problemas con valores a la frontera.

2.3 Teorema de existencia y unicidad para un sistema de n ecuaciones lineales.

2.4 Equivalencia topol´ogica de ecuaciones diferenciales lineales.

3. Sistemas lineales, teor´ıa de Floquet

3.1 Soluci´on general del problema homog´eneo de ecuaciones diferenciales lineales, matriz fundamental.

3.2 Clasificaci´on de los puntos fijos en el plano y en m´as dimensiones.

4. Teor´ıa cualitativa en el plano

4.1 Orbitas y curvas solución de las ecuaciones diferenciales en campos vectoriales en el plano, clasificaci´on de puntos fijos.

4.2 ´Indice de puntos fijos y orbitas periódicas en el plano.

4.3 Conjuntos l´ımites: α y ω l´ımites, criterio de Bendixon.

4.4 Teorema de Poincar´e–Bendixon.

5. Teor´ıa de estabilidad

5.1 Estabilidad de Lyapunov, estabilidad orbital, estabilidad global.

5.2 Teorema de Grobmann-Hartman para puntos atractores.

6. Oscilaciones no lineales y Teor´ıa de Perturbaciones

6.1 Din´amica no lineal en el plano: puntos fijos, conexiones homocl´ınicas y heterocl´ınicas. Ejemplos: ecuaciones del p´endulo,

6.3 Bifurcaciones elementales.

7. Sistemas conservativos (optativo) o Flujo global en el plano (optativo) o Problemas con valores a la frontera (optativo)

Bibliografía:

1. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems.
2. Hirsch M., Smale S., Differential Equations Dynamical Systems and Linear Algebra.
3. Hirsch M., Smale S., Devaney R., Differential Equations, Dynamical systems, and an Introduction to Chaos.
4. Strogatz S. H., Nonlinear Dynamics and Chaos with Applications.
5. Arnold, V.I., Ordinary Diferential Equations, 3rd edition, Berlin: Springer-Verlag,
   1992.