Matemáticas (plan 1983) 2020-1

Tercer Semestre, Cálculo Diferencial e Integral III

El curso de Cálculo Diferencial III es un curso esencial en la formación de un científico. Podría decirse sin lugar a dudas que es uno de los cursos más importantes de las carreras de Actuaría, Física, Matemáticas y Matemáticas Aplicadas. Asimismo, esta materia da los fundamentos básicos para poder estudiar temas más avanzados afuera y adentro de las matemáticas, como la electrodinámica, con el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales, el estudio de membranas, con técnicas de geometría diferencial, la teoría de bifurcación, con técnicas de la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales, y la teoría de redes, a través de métodos topológicos.

En este curso se generalizarán los conceptos que se vieron en el primer curso de Cálculo para funciones reales de una variable a funciones vectoriales de varias variables. Esto nos llevará naturalmente al estudio de la estructura de R^n y a ver el diferencial como un mapeo lineal en R^n.

Dado lo anterior, es necesario introducir conceptos de otras áreas de las matemáticas, que en principio podrían parecerle al estudiante ajenas al Cálculo, como la topología y el álgebra lineal: una de las metas principales del curso es que el estudiante pueda apreciar la interacción entre distintas ramas de las matemáticas. Así, el curso comienza con una revisión de los conceptos de espacios vectoriales y una introducción a la topología, en particular la de R^n.

Los temas abordados en Calculo III proveen un puente único entre intuición geométrica y generalidad formal. Muchos de los conceptos presentados en R^n (¡pero no todos!) son casos particulares de conceptos que siguen siendo válidos en espacios más generales y en disciplinas distintas al cálculo. Por esto es que el enfoque de este curso dista de un curso tradicional, al buscar que el alumno desarrolle capacidades críticas de generalización estudiando espacios métricos y apuntando en particular a los casos en los cuales los resultados en R^n no se generalizan.

Este curso (junto con el curso de Calculo IV que lo sigue) proporciona una introducción al análisis real y a la geometría diferencia. Esta introducción permitirá a los estudiantes adentrarse de manera natural y madura en el estudio de estas ramas de las matemáticas. De otro lado, los estudiantes que no cursarán análisis y geometría diferencial encontrarán en este curso un compendio de y una guía a ideas matemáticas avanzadas que podrán profundizar de manera independiente y aplicar a otras ramas del conocimiento.

Como podrán notar los estudiantes interesados en este curso, el temario que a continuación se muestra difiere en algunos sentidos al temario oficial de la Facultad, que, sin lugar a dudas, se cubrirá en este curso. Sin embargo, ambos profesores consideramos que dichos cambios son pensados en los estudiante y con el afán de desarrollar más la teoría que esta bella materia tiene por ofrecer, de tal manera que el estudiante pueda apreciar la importancia del Cálculo Diferencial en su totalidad.

Es importante señalar que la materia requiere un gran compromiso por parte del estudiante.

Temario

1. Topología y espacios métricos

   1. Nociones de teoría de conjuntos

   2. Nociones avanzadas de Álgebra Lineal

   3. Espacios vectoriales de dimensión finita

   4. Espacios Métricos y Normados

   5. Topología de los espacios métricos

   6. Sucesiones en R^n

   7. Convergencia y continuidad en espacios métricos

   8. Elementos de topología en R^n

   9. Más sobre la topología de espacios métricos

2. Diferenciación en espacios Euclideanos

   1. Funciones de R^n a R^m

   2. Subespacios afines

   3. La Derivada

   4. Funciones continuamente diferenciables

   5. Regla de la cadena

   6. Teorema del Valor Medio

   7. Introducción a la geometría diferencial clásica

   8. Los teoremas de los mapeos y las funciones implícitas

   9. Curvas y superficies de nivel

   10. Derivadas de órdenes superiores

   11. Problemas de extremos

3. Diferenciación en espacios vectoriales

   1. Infinitesimales

   2. El diferencial

   3. Derivadas direccionales y el teorema del valor medio

   4. El diferencial y espacios producto

   5. El diferencial y R^n

   6. Aplicaciones

   7. Segundo diferencial y clasificación de puntos críticos

   8. Introducción a los espacios de Banach*

   9. Los teoremas de las funciones implícita e inversa

   10. Subvariedades y los multiplicadores de Lagrange

Evaluación: 100% Exámenes