Matemáticas (plan 1983) 2020-1

Tercer Semestre, Cálculo Diferencial e Integral III

Temario

1. La geometría de R^n

• El espacio euclidiando R^n.

• Normas y producto interno.

• Conjuntos convexos.

• Espacios métricos.

• Coordenadas cilíndricas y esféricas.

• Transformaciones lineales.

• Funciones de R^n en R^m.

• Gráficas, trazas y conjuntos de nivel.

2. La topología de R^n

• La topología de R^n: conjuntos abiertos y cerrados; interior, exterior, cerradura, frontera y puntos de acumulación.

• Compacidad y el teorema de Heine-Borel.

• Sucesiones en R^n y el teorema de Bolzano-Weierstrass.

• Conexidad.

• Límites y continuidad.

• Compacidad y conexidad bajo funciones continuas.

3. Diferenciación-Primera parte

• Funciones diferenciables y su derivada.

• Diferenciación de curvas, el vector tangente.

• Propiedades de las derivadas.

• Derivadas parciales y la matriz Jacobiana.

• Diferenciación de funciones con valores reales, el gradiente.

• Derivadas direccionales.

• Regla de la cadena.

• Reparametrización de curvas, longitud de arco y curvatura.

4. Diferenciación-Segunda parte

• Teoremas de la función inversa e implícita.

• Teorema del valor medio.

• Derivadas de orden superior y polinomios de Taylor.

• Puntos críticos, máximos, mínimos y puntos silla.

• Máximos y mínimos con restricciones, multiplicadores de Lagrange.

Bibliografía

1. M. Spivak, Cálculo en Variedades, Ed. Reverté.

2. C. H. Edwards, Advanced Calculus of Several Variables, Dover.

3. J. Marsden y A. Tromba, Cálculo Vectorial, Addison-Wesley, Pearson Educación.

4. S. Lang, Calculus of Several Variables, Springer.

5. R. Courant, Differential and Integral Calculus, Vol. 2, J. Wiley.