Matemáticas (plan 1983) 2020-1

Tercer Semestre, Álgebra Lineal I

Temario:

• Espacios vectoriales

a) Introducción a las estructuras algebraicas

1. Semigrupos, monoides, grupos, grupos abelianos, anillos, anillos conmutativos, campos

b) Espacios vectoriales y subespacios

1. Propiedades generales
2. Caracterización de subespacios
3. Aritmética de subespacios
4. El subespacio generado por un conjunto
5. Sumas directas

c) Bases

1. Conjuntos generadores
2. Conjuntos linealmente independientes/dependientes
3. Caracterizaciones
4. Bases y dimensión

• Transformaciones lineales

a) Transformaciones lineales y estructuras inducidas

1. Propiedades generales
2. Imágenes directas/inversas de subconjuntos, núcleo e imagen

b) Tipos especiales de transformaciones lineales

1. Composición de transformaciones lineales
2. Transformaciones lineales inyectivas, suprayectivas y biyectivas
3. Propiedad universal de las bases
4. Espacios vectoriales isomorfismo

c) Matrices y transformaciones lineales

1. Matriz asociada a una transformación lineal
2. Transformación lineal asociada a una matriz
3. Relación entre espacios de transformaciones lineales y espacios de matrices
4. Invertibilidad de transformaciones lineales vs invertibilidad de matrices
5. La matriz de cambio de base

• Sistemas de ecuaciones lineales

a) Operaciones elementales de matrices

1. Rango de una matriz
2. Matrices reducidas y escalonadas
3. La inversa de una matriz

b) Sistemas de ecuaciones lineales

1. Aspectos teóricos
2. Aspectos prácticos

c) Espacios duales

• Espacios con producto interior

a) Producto interior

1. Propiedades generales
2. Norma inducida,
3. Conjuntos ortogonales/ortonormales

b) Teorema de Gram-Schmidt

1. 1. Utilidad de las bases ortonormales

c) Complemento ortogonal

d) Transformaciones lineales y productos interiores

e) El operador adjunto

• Determinantes

Evaluación:

Exámenes ------ 80%

Tareas ------------15%

Entrevista Final--5%

A lo largo del semestre habrá 4 exámenes parciales. Antes de cada examen se va a dejar una tarea que servirá de guía para reforzar los conceptos a evaluar. De cada tarea se seleccionaran algunos ejercicios que deben de entregar una semana antes de la aplicación del examen respectivo; esto porque se les devolverán calificadas antes del examen, así podrán identificar fácilmente los temas que deben de repasar para conseguir mejores resultados en el examen (y desde luego en el curso).

Cuando esté por concluir el semestre van a ser llamados a una entrevista personal (ya sea con el profesor ó con el ayudante), en la cual se analizara el desempeño y desarrollo personal que tuvieron durante el curso. Se pondrá especial atención en reconocer los meritos que para entonces hayan logrado, en el entendido de que lo que se busca en una clase no es solamente que el estudiante adquiera conocimientos académicos, sino que también logre un aprendizaje de valores, aptitudes, estrategias y hábitos de estudio, etc; estos aspectos, junto con su formación académica, serán determinantes para el nivel de profesionalismo que demuestren a lo largo de su vida.

Hay dos maneras de mejorar la calificación obtenida con sus exámenes parciales y tareas. La primera es a través de reposiciones: podrán reponer a lo más dos exámenes parciales al final de semestre. La segunda es haciendo examen final.

Bibliografía:

[1] Rincón Mejía, H. A. Álgebra Lineal. Prensas de Ciencias, UNAM. 2011.

[2] Friedberg, S. Insel, A. Spence, L. Álgebra Lineal. Publicaciones Cultural. 1982

[3] Golan, J. S. The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know. 3 Ed. Springer, 2010.

Método de enseñanza:

Entendemos que si bien el profesor es el que imparte la clase, son los alumnos los que dan sentido al curso. Debido a que cada estudiante está sujeto a condiciones distintas de trabajo, es imposible pedir uniformidad de desarrollo en el grupo, por ello nuestra principal obligación será proporcionar el mayor apoyo posible a cada uno de los estudiantes que decida solicitar nuestra atención. Entre los medios, alternos a las clases tradicionales (cada semana: tres sesiones con el profesor y dos más con el ayudante para complementar lo estudiado en las tres clases pasadas), para asistirlos se encuentran por ejemplo:

• Sesiones extras antes de cada examen.

Para atender las dudas que puedan haberse acumulado en cierto periodo de tiempo. Esto porque inevitablemente durante el transcurso de las clases uno tiende a perder de vista el trasfondo de lo que se nos presenta, si se sigue avanzando con todos esos huecos, indudablemente en algún momento se hacen tan abundantes que uno puede “tropezar” con alguno de ellos y perder así el ritmo de clase; lo que lamentablemente origina un rezago en la formación académica (incluso en el futuro si no se enmienda lo antes posible) y una incapacidad de disfrutar, comprender y explorar con seguridad una rama de la matemática.

• Recopilación de los “pizarrones”.

En cada clase, durante la exposición, cuando se llene un pizarrón, se dará tiempo para tomar una foto de él y ésta se alojara en un repositorio digital en el cual todos los del grupo podrán consultarla para futuras referencias ó bien para preguntar posteriormente sus dudas puntuales de algún argumento que quizá durante la clase parecía claro pero que después se hizo confuso,

• Material didáctico

En algunas ayudantías se les va a entregar material que les servirá para profundizar, reforzar y/o complementar ciertos concentos de la teoría que en principio pueden parecer difíciles de dominar en una sola clase.

Les dejo el link de Schoology por aquí. Recuerden que para poder acceder deben de crear una cuenta como "Estudiante" e ingresar el código de acceso que les proporcioné. Es importante que se den alta en el sitio, ya que ahí es donde vamos a alojar toda la información relevante del curso.

¡Bienvenid@s a su clase de álgebra lineal!