Matemáticas (plan 1983) 2020-1

Primer Semestre, Cálculo Diferencial e Integral I

¡Bienvenidos jóvenes a la Facultad de Ciencias de la UNAM y a este curso!

La intensión de este curso es que aprendan la teoría básica sobre límite, continuidad y derivada en una variable, así como la aplicación de estos conceptos. Se trata pues, de estudiar y comprender los fundamentos del Cálculo Diferencial en una variable.

A continuación presentamos los temas que se abordarán en este curso, el cual tiene una gran intersección con el temario oficia, así como parte de la bibliografía que utilizaremos en este curso:

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

TEMARIO.

CAPÍTULO I. Introducción.

1. Dos problemas que fundamentan al Cálculo:

Tangente a una curva

Velocidad de un cuerpo en movimiento.

CAPÍTULO II. Conjuntos.

1. ¿Qué es un conjunto?
2. Operaciones entre conjuntos.
3. El conjunto de los números naturales.

CAPÍTULO III. INDUCCIÓN MATEMÁTICA (Opcional).

1. Razonamiento inductivo.
2. Principio de inducción matemática.

CAPÍTULO IV. El campo de los números reales.

1. Construcción de los números reales a partir del concepto de segmentos conmensurables. Números racionales e irracionales.
2. Propiedades de campo.
3. Propiedades de orden.
4. La compleción de los números reales.

Cortaduras de Dedekind (opcional), Axioma del Supremo y Axioma del ínfimo.

5. Los números reales como un campo ordenado completo.

CAPÍTULO V. Funciones reales de una variable real.

1. Definición de función
2. Gráfica de una función.
3. Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.
4. Composición de funciones.
5. Función inversa.
6. Operaciones entre funciones.
7. Interpretación gráfica de las operaciones entre funciones.

CAPÍTULO VI. Un viaje al infinito

1. Lo infinitamente grande.
2. Lo infinitamente pequeño.

CAPÍTULO VII. Cardinalidad de un conjunto.

1. Conjuntos finitos.

Cardinalidad de un conjunto finito vs cardinalidad de sus subconjuntos propios.

2. Conjuntos infinitos.

Conjuntos numerables.

Conjuntos más que numerables.

Cardinalidad de un conjunto infinito vs cardinalidad de sus subconjuntos propios.

Los números transfinitos de Cantor (opcional).

La Hipótesis del continuo.

CAPÍTULO VIII. Límite de una función.

1. Punto de acumulación de un conjunto.
2. Definición de límite de una función
3. Propiedades básicas del límite de una función.
4. Límite de la suma, el producto y el cociente de funciones.
5. Límites en el infinito.

CAPÍTULO IX. Continuidad de una función.

1. Continuidad de una función en un punto.
2. Propiedades básicas de la continuidad puntual.
3. Continuidad de la suma, el producto y el cociente de funciones continuas en un punto.
4. Continuidad de la composición de funciones continuas en un punto.
5. Propiedades de las funciones continuas en intervalos cerrados y acotados:

Teorema del valor intermedio.

Máximos y mínimos de una función.

CAPÍTULO X. La derivada de una función.

1. Razón de cambio, razón de cambio instantánea y velocidad.
2. Tangente a una curva.
3. El concepto de derivad.
4. Relación entre continuidad y derivada de una función.
5. Derivada de la suma, el producto y el cociente de funciones derivables.
6. Derivada de la composición de funciones derivables: la regla de la cadena.
7. Derivada de la función inversa.
8. Derivación implícita.
9. Derivadas de orden superior
10. El teorema del valor medio para la derivada.
11. Graficación de una función a través de sus derivadas:

CAPÍTULO XI. Máximos, mínimos, regiones de concavidad y puntos de inflexión.

1. Problemas de optimización.
13. Polinomios de Taylor y forma de Lagrange del residuo.
14. El Teorema del Valor Medio Generalizado para la derivada.
15. La regla de L´Hospital.

CAPÍTULO XI. Sucesiones de números reales (opcional).

Bibliografía.

1. Spivak, Michel. Cálculo infinitesimal. Segunda edición. Ed. Reverté S.A., 1998.
2. Haaser, Norman B. Análisis matemático: curso de introducción, Volumen I. Ed. Trillas.
3. Apostol, Tom M. Calculus. Volumen I. Ed. Reverté S.A., 2001.
4. Courant, R. Introducción al Cálculo y al Análisis. Ed. Limusa, 1974.

Folletos.

1. Dedekind, R. La continuidad y los números irracionales.
2. Sominskii, S. El método de la inducción matemática.
3. Vilenkin, Ya N. Infinito y conjuntos.

Lecturas complementarias.

1. Fernández, Javier. Un acercamiento a los fundamentos del Cálculo. Publicaciones Fomento Editorial, UNAM.
2. Bolzano, Bernard. Las paradojas del infinito. Colección Mathema, UNAM.
3. Polya, G. Cómo plantear y resolver problemas. Ed. Trillas, 1965.

Elementos para la evaluación del curso

1. Se aplicarán de 5 a 6 exámenes parciales durante el curso.
2. En caso necesario, el alumno podrá presentar exámenes de reposición (uno por cada examen parcial) que se aplicarán al finalizar el curso en dos partes.
3. El alumno podrá presentar un examen final para acreditar el curso.
4. El promedio de las calificaciones de los exámenes se hará tomando en cuenta la máxima calificación entre el examen parcial y la correspondiente reposición.
5. Con la finalidad de que el estudiante pueda reafirmar lo aprendido en el curso y le ayude a preparar sus exámenes parciales, se dejarán de 5 a 6 tareas (una por cada examen parcial). Cada tarea se entregará a los estudiantes en dos partes antes de cada parcial. Las tareas se entregarán en equipo. El porcentaje de calificación de las tareas en la calificación final será de 10% (un punto) de acuerdo a los siguientes criterios:

1. Si el promedio en tareas se encuentra entre 8 y 10, tendrán 1 punto en su calificación final.
2. Si el promedio en tareas se encuentra entre 6 y 7.9, tendrán 0.5 puntos (cinco décimas de punto) en su calificación final.
3. Si el promedio en tareas se encuentra entre 4 y 5.9, tendrán 0.2 puntos (dos décimas de punto) en su calificación final.
4. Si el promedio en sus tareas es menor a 4, tendrán 0.0 puntos en su calificación final.

Calificación final del curso

Hay dos formas para la evaluación final del curso:

1. El promedio de las evaluaciones parciales (exámenes) más lo que hayan obtenido por entrega de tareas (como se detalla arriba).
2. Presentar un examen final del curso. Existen dos modalidades: la primera es presentando todas las reposiciones y la segunda es en un solo día. Para los estudiantes que deseen presentarlo en un solo día, éste se aplicará en la primera semana de exámenes finales en la fecha y hora señalada por el departamento de matemáticas.

Escala de calificación final del curso

Rango Calificación

5.6 – 6.5 6

6.6 – 7.5 7

7.6 – 8.5 8

8.6 – 9.5 9

9.6 – 10 10

Con la intensión de apoyarlos en el aprendizaje fuera del salón de clases, estableceremos junto con ustedes dos horarios de asesorías (un día el ayudante y otro día su servidor) para que ustedes se acerquen a preguntar sus dudas sobre el curso.

Por último, para la comunicación entre el grupo, abriremos un grupo de WhatsApp, y ya abrimos una Página en Internet para el curso donde subiremos cuestiones de interés para ustedes (en estos días daremos la dirección de la página), y abriremos también un grupo de correos.

¡Esperamos que su estancia en ésta su Facultad sea placentera!