Ciencias de la Tierra (plan 2011) 2019-2

Cuarto Semestre, Matemáticas para las Ciencias de la Tierra IV

Presentación

Éste es un curso de introducción a los sistemas dinámicos mediante los formalismos e instrumental matemáticos de las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones de recurrencia. Como se ha visto a lo largo de los tres cursos anteriores, la matemática es un método de investigación, un camino que permite representar aspectos importantes de la realidad, sugiere su entramado y la pone a disposición para reflexionar en ella. En términos muy generales, un sistema dinámico es un espacio de estados o configuraciones y de reglas que permiten estudiar, merced a la interacción de las propias componentes de los estados del sistema, cómo evolucionan las configuraciones a lo largo del tiempo. La importancia de la teoría de los sistemas dinámicos radica en que, en todos los niveles de organización de la materia, una enorme cantidad de procesos y fenómenos son el resultado de las interacciones de componentes que dan lugar al cambio.

Temario

El índice temático oficial de este curso puede bajarse de la red desde el sitio:

https://web.fciencias.unam.mx/licenciatura/asignaturas/1440/1417

y será cubierto aproximadamente en el orden que se indica en la siguiente lista:

1. Introducción a los sistemas dinámicos

• Discretos: la ecuación de recurrencia de Fibonacci; cálculo de raíces de ecuaciones mediante el método de Newton; mapeos de crecimiento lineal y logístico.

• Continuos: cinética química; el oscilador armónico; modelos de interacción de poblaciones.

• Tres métodos para comprender el comportamiento de un sistema: analítico, cualitativo, numérico.

2. Elementos para el análisis de las ecuaciones de recurrencia de primer orden.

• Órbitas: cálculo de puntos fijos y periódicos.

• Análisis gráfico. Puntos fijos y ciclos atractores, repulsores o neutrales.

• Bifurcaciones. Duplicación de periodo. Caos determinístico en un sistema dinámico discreto.

3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

• Problemas de valor inicial.

• Con solución explícita: variables separables; ecuaciones exactas; ecuaciones lineales.

• Análisis cualitativo de ecuaciones autónomas en la línea de fase: sumideros, fuentes y nodos.

• Familias de ecuaciones dependientes de un parámetro. Bifurcaciones.

• Solución numérica: el método de Euler.

4. Ecuaciones diferenciales de segundo orden y sistemas lineales

• Movimiento armónico: ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.

• Sistemas en el plano equivalentes a las ecuaciones del movimiento armónico.

• Caracterización de las soluciones de equilibrio en el plano traza-determinante. Bifurcaciones.

• Ecuaciones no homogéneas: método de los coeficientes indeterminados.

• Variacion de parámetros. El movimiento armónico forzado.

• Sistemas lineales en tres o más dimensiones.

5. Soluciones en serie de potencias.

• Soluciones en serie cerca de puntos ordinarios.

• Soluciones en serie cerca de puntos singulares regulares.

• Soluciones en serie cerca de puntos singulares irregulares.

6. Transformadas de Laplace

• Funciones discontinuas.

• Ecuaciones de segundo orden.

• Funciones delta y pulsos.

• Convoluciones.

7. Sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales.

• Análisis local de las soluciones de equilibrio mediante la linealización del sistema.

• Comportamiento en el largo plazo. Conjuntos invariantes y uso de las nuloclinas.

• Modelos de la dinámica de dos poblaciones con interacciones tipo Lotka-Volterra.

• No linealidad en tres dimensiones: un modelo para tres eslabones de una cadena trófica; el modelo de Lorenz y el efecto mariposa. Caos determinístico en un sistema dinámico continuo.

8. Introducción a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

• Problemas con valores en la frontera.

• La ecuación del calentamiento. Separación de variables para esta ecuación.

• La ecuación de onda.

• Ecuación de Laplace.

Evaluación

A lo largo del semestre, se harán cuatro exámenes parciales que constarán de dos partes: una lista de problemas para hacer en casa y una prueba individual, en el salón de clase. Es obligatorio presentar el cuarto examen parcial; si no se presentare, la calificación final será NP.

1. En relación con la lista de problemas:

a ) Podrá ser resuelta individualmente o en equipos de no más de tres personas. En su caso, todos los miembros del equipo, serán igualmente responsables de los resultados que entreguen, independientemente de cómo se haya distribuido entre ellos el trabajo de escribir los reportes.

b ) Se les hará llegar oportunamente por correo electrónico y deberá entregarse en dos versiones: una preliminar y, otra, definitiva, en las fechas que se indican en el calendario de exámenes (véase abajo).

c ) En la versión preliminar, los equipos mostrarán los intentos de solución de todos los problemas y éstos servirán de base a la orientación que darán los profesores ayudantes en una sesión especial de asesoría que tendrá lugar antes de la aplicación de la prueba individual en el horario acordado con ellos desde el principio del semestre. La asistencia a esta sesión equivaldrá a tres asistencias ordinarias.

2. En relación con las pruebas individuales:

a ) Se aplicarán durante la primera hora de las sesiones correspondientes a las fechas programadas; la segunda hora se dedicará a discutir la solución de la prueba recién aplicada.

b ) Al final de la sesión, los estudiantes entregarán su examen; a continuación, se resolverá en clase con todo detalle para que, en casa, cada alumno elabore individualmente un reporte en el que identifique sus fortalezas y debilidades: la plena comprensión o las dudas de cómo resolvió correctamente algún ejercicio o el origen de los errores que hubiere cometido o de la incomprensión de algún problema. La autoevaluación le será entregada a los profesores Blaz Carrillo y Rivera Zavala, el lunes siguiente a la aplicación de la prueba individual.

c ) Los profesores Blaz y Rivera revisarán con los estudiantes los temas que éstos hayan identificado en su reporte y asignarán la calificación correspondiente al examen con base en la autoevaluación, la pertinencia del reporte que hayan entregado y la participación en las asesorías.

d) La calificación de cada parcial es el promedio ponderado de lo que se obtenga en la lista de problemas (70%) y de la prueba individual (30%).

Algoritmo de calificación final

La calificación final del curso se obtiene de la siguiente manera:

1. Presentar el cuarto parcial es obligatorio y la calificación obtenida en él será considerada para la calificación final. Si alguien no presenta el 4to parcial, se reportará como no presentado (NP).

2. De las calificaciones de los tres primeros parciales se desdeña la menor, y se obtiene el promedio de las no desdeñadas con la del 4to parcial; este promedio se redondea al entero más cercano.

3. La calificación mínima aprobatoria es 6. Si no aprueban el curso, se reportará como que no se presentaron (NP).

4. Los profesores ayudantes ofrecerán semanalmente dos horas de asesoría para resolver los problemas de la lista y resolver dudas. La asistencia a clase y la participación en las sesiones de asesoría especial con los ayudantes, a lo largo de todo el semestre, se traducirá en un punto extra o la parte proporcional correspondiente, en la calificación final.

5. Si alguien no está conforme con la calificación que haya obtenido mediante el procedimiento descrito, podrá presentar un examen final que se aplicará en la fecha prevista por la sección escolar para la segunda vuelta, al final del semestre. Sólo podrán presentar el examen final quienes tengan un 80% del total de las asistencias registradas, hayan entregado las cuatro listas de problemas y hayan hecho al menos tres de las cuatro pruebas individuales ordinarias, incluido el 4to parcial.

Calendario de exámenes parciales

Primero

1. Entrega de la versión preliminar: el viernes 15 de febrero, la 1era parte; el lunes 18 de febrero, la 2da.

2. Sesión especial de asesoría: entre el 18 y el 20 de febrero.

3. Prueba individual y entrega de la versión definitiva: lunes 25 de febrero.

4. Entrega del reporte de autoevaluación: miércoles 27 de febrero.

Segundo

1. Entrega de la versión preliminar: viernes 22 de marzo.

2. Sesión especial de asesoría: entre el 25 y el 27 de marzo.

3. Prueba individual y entrega de la versión definitiva: viernes 29 de marzo.

4. Entrega del reporte de autoevaluación: lunes 1 de abril.

Tercero

1. Entrega de la versión preliminar: lunes 6 de mayo.

2. Sesión especial de asesoría: entre el 7 y el 14 de mayo.

3. Prueba individual y entrega de la versión definitiva: viernes 17 de mayo.

4. Entrega del reporte de autoevaluación: lunes 20 de mayo.

Cuarto

1. Entrega de la versión preliminar: miércoles 5 de junio.

2. Sesión especial de asesoría: entre el 6 de mayo y el 10 de junio.

3. Entrega de la versión definitiva: miércoles 12 de junio.

Sobre la bibliografía

Observaciones generales

1. El curso dará inicio el 28 de enero; es decir, empezaremos a cubrir el programa desde la primera sesión del semestre. Por lo extenso del temario, es preciso aprovechar al máximo el tiempo de clase; se recomienda no faltar a clase y asistir siempre puntualmente.

2. El aprovechamiento depende del trabajo que los estudiantes lleven a cabo por sí mismos; en casa, en la biblioteca o con los cuates. No es suficiente la asistencia. De hecho, el curso tiene como actividad primaria la solución de las listas de ejercicios y esto exige al menos seis horas semanales complementarias de dedicación fuera del salón de clase y la asistencia a las sesiones de trabajo con la profesora ayudante.

3. Para concluir el proceso de registro como estudiantes de este curso --sobre todo a fin de que reciban oportunamente las listas de problemas-- es indispensable que envíen, durante la primera semana de clase, un mensaje tanto a la dirección electrónica de José Luis Gutiérrez (jlgtz.fc.unam@ciencias.unam.mx) como a la de Luz Mariana Blaz Carrillo (luzblaz@ciencias.unam.mx) con el texto: "Soy alumno o alumna (según el caso) del grupo 1050 o 1051 de Mate IV" y su nombre completo.

4. Los profesores Blaz Carrillo y Rivera Zavala tendrán a su cargo calificar las listas de problemas y los exámenes individuales y se dedicarán fundamentalmente a ayudarlos en la revisión de temas que pudieren necesitar para comprender los propios del curso.

5. Las pruebas individuales se aplicarán durante la primera hora de las sesiones correspondientes a las fechas programadas; la segunda hora se dedicará a discutir la solución de la prueba recién aplicada.

6. En principio, no se recibirán tareas ni se aplicarán exámenes fuera de la fecha programada. La única razón válida para no presentarse a la prueba individual en la fecha programada es que tengan una salida de campo (sólo aplicable a los estudiantes de Ciencias de la Tierra) y el profesor responsable de dicha salida me lo comunique oportunamente por correo electrónico. En tal caso, la calificación que obtengan en la lista de problemas corresponderá al 100% del parcial.

Referencias bibliográficas

Bibliografía básica

Bibliografía complementaria

1. Blanchard, Paul; Robert L. Devaney y Glenn R. Hall (1998): Ecuaciones diferenciales. México, International Thomson Editores (xiv + 543 pp.).

2. Braun, Martin (1990):Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. México, Grupo Editorial Iberoamérica (xiv + 543 pp.).

3. Farlow, Stanley J. (1993): Partial Differential Equations for Scientists and Engineers. Nueva York, Dover (ix + 414 pp.).

4. Nagle, R. Kent; Edward B. Saff y Arthur D. Snider (2005): Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. 4ta. Edición, México, Pearson Educación (xxvi + 736 + 51 pp.).

5. Simmons, George F. (1993): Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas. Segunda Edición. Madrid, McGraw-Hill, International Series in Pure and Applied Mathematics (xix + 658 pp.).