Matemáticas (plan 1983) 2019-2

Optativas de los Niveles V y VI, Teoría de la Medida I

Requisitos: Cálculo diferencial e integral I-IV, ecuaciones diferenciales I y es recomendable (pero no necesario) análisis matemático I.

El curso está dirigido hacia estudiantes de las carreras de matemáticas, física y actuaría interesados en análisis matemático (análisis funcional, análisis armónico, ecuaciones diferenciales parciales, etc), física-matemática y probabilidad.

Temario:

I. Medidas.

• Sigma álgebras.
• Medidas.
• Medidas exteriores.
• Medidas de Borel en la recta real.
• Construcción de medidas (medida de Lebesgue).
• Elementos de probabilidad I.

II. Integración.

• Funciones medibles (propiedades básicas, funciones simples y aproximación por fuciones smples).
• Funciones continuas (Teoremas de Lusin, Egoroff y aproximación).
• Integración de funciones no-negativas.
• Integración de funciones reales y complejas.
• Teoremas de intercambio de límites.
• Comparación de la integral de Lebesgue con la integral de Riemann.
• Espacios de Lebesgue.
• Modos de convergecia.
• Elementos de probabilidad II.

III. Producto de Medidas.

• Teorema de Fubini-Tonelli.
• Aplicaciones.
• Elementos de probabilidad III.

IV. Diferenciación.

• Diferenciación de una integral.
• Teoremas sobre cubiertas.
• Función maximal de Hardy-Littlewood.
• Teorema de Diferenciación de Lebesgue.

V. Cambios de variable.

• Teorema de cambio de variables.
• Coordenadas polares.
• Transformación de Jacobi y medida de superficie.
• Teorema de la divergencia y aplicaciones (p. ej. popiedad del pomedio y funciones armónicas, convolución y regularizadores).
• Elementos de probabilidad IV.

VI. Teorema de Radon-Nikodym. (*)

VII. Medidas de Hausdorff. (*)

Bibliografía:

• Ash. Probability and Measure Theory.
• Athreya and Lahiri. Measure Theory and Probability Theory.
• Capinski and Kopp. Measure, Integral and Probability.
• Cohn. Measure Theory.
• Dudley. Real Analysis and Probability.
• Evans and Gariepy. Measure Theory and Fine Properties of Functions.
• Folland. Real Analysis.
• Halmos. Measure Theory.
• Jacod and Protter. Probability Essentials.
• Royden and Fitzpatrick. Real Analysis.
• Rudin. Real and Complex Analysis.
• Stein and Shakarchi. Real Analysis.
• Stroock. Essentials of Integration Theory for Analysis.
• Stroock. Mathematics of Probability.
• Tao. An Introduction to Measure Theory.
• Taylor. Measure Theory and Integration.

Evaluación:

Habrá tareas quincenales que valdrán el 50% de la calificación final y exámenes parciales (al menos 3 más una tarea-examen) que valdrán el otro 50% de la calificación final. El alumno tendrá derecho a la reposición de un parcial. Habrá un examen final para quien lo necesite. Éste constará dos exámenes escritos y una tarea-examen.