Matemáticas (plan 1983) 2019-2

Optativas de los Niveles V y VI, Sistemas Dinámicos Discretos I

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Lugar y horarios
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Lugar: P-105.

Horarios: 13-14 hrs. Profesor lunes, miércoles y viernes. Ayudante martes y jueves.

Nota: Permuta de salón y horario con el Seminario de Geometría “A” - Arte y Matemáticas (Jefferson King/Saúl Juárez/Renato Leriche).

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Temario
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En este curso se introduce al estudio de los sistemas dinámicos discretos en 1 dimensión real (subconjuntos de ℝ, el círculo) y en espacios métricos generales. El curso estará dividido en 5 unidades:

1. Conceptos básicos y dinámica en ℝ.

a) Introducción.

Modelos de poblaciones. Métodos numéricos iterativos. Sistemas Dinámicos y Sistemas Dinámicos Discretos.

b) Conceptos básicos.

Iteradas e Iteraciones. Órbitas. Puntos Fijos, Periódicos, Pre-Periódicos y Asintóticamente Periódicos.

c) Hiperbolicidad.

Puntos Atractores y Repulsores. Puntos Neutros. Teoremas de Hiperbolicidad. Conjuntos Hiperbólicos.

d) Herramientas visuales.

Retrato Fase. Análisis Gráfico.

e) Teorema de Sharkovsky.

Casos particulares. Teorema de Li-Yorke. Teorema y Orden de Sharkovsky. La duplicadora.

2. Caos y Estabilidad.

a) Estabilidad.

Estabilidad de órbitas. El ω-conjunto límite. Recurrencia.

b) Caos.

Sensibilidad a las condiciones iniciales. Transitividad Topológica. Órbitas Densas. Teorema de Jacobi. Definición de Caos de Devaney.

c) Conjugación Topológica.

Propiedades dinámicas que se conservan bajo conjugación. Equivalencia de sistemas.

d) Medidas de estabilidad y caos.

Exponentes de Lyapunov. Entropía Topológica.

3. Sistemas dinámicos discretos en otros espacios.

a) Dinámica Simbólica.

La función corrimiento en el espacio de 2 símbolos. Subcorrimientos de tipo finito. Itinerarios. El Conjunto de Cantor. La sumadora de Misiurewicz.

b) Transformaciones del Círculo.

Rotaciones. El Número de Rotación.

4. Familias y espacios de funciones.

a) Familias de Funciones.

Diagramas de Órbitas. Diagramas de Bifurcación.

b) Bifurcaciones.

Bifurcación Tangente. Bifurcación Tridente. Bifurcación de Duplicación del Periodo. Teoremas de existencia de bifurcaciones.

c) Familia Logística.

Análisis de Bifurcaciones. Zona Caótica. Ventanas del Diagrama. Ejemplo de Renormalización.

d) Estabilidad Estructural.

Espacios de funciones. Teoremas de Estabilidad Estructural.

5. Introducción a la sistemas dinámicos discretos en espacios de dimensión mayor. (Opcional).

a) Introducción a la dinámica en ℝⁿ.

Transformaciones Lineales. Introducción a la Herradura de Smale. Introducción a Transformaciones en el Toro.

b) Introducción a la dinámica en ℂ.

La familia Cuadrática. Conjuntos de Julia y Fatou. El conjunto de Mandelbrot.

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Prerrequisitos
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Preferentemente, haber cursado Topología I.

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Evaluación
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• 30%. Cuatro tareas, una por unidad-mes (U1-Febrero, U2-Marzo, U3-Abril, U4-Mayo). La unidad 5 no se evaluará.
• 60%. Cuatro exámenes, uno por unidad-mes. Se permiten reposiciones de todos los exámenes. No habrá examen final.
• 10%. Una exposición, de duración 30 a 50 minutos, a realizarse entre los meses de Mayo y Junio. Temas propuestos: Teoremas sobre la definición de Caos de Devaney, Resultados de Entropía Topológica, El Atractor de Sistemas de Funciones Iteradas, La Constante de Feigenbaum, La Derivada Schwarziana, Dinámica en Hiperespacios, y algunos otros por definir...

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Bibliografía
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• Principal.
  • King, Jefferson E. & Méndez, Héctor. Sistemas Dinámicos Discretos. 2014.
  • Devaney, Robert L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. 1989.
  • Brin, Michael & Stuck, Garrett. Introduction to Dynamical Systems. 2004
• Complementaria.
  • Robinson, R. Clark. Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos. 1995.
  • Devaney, R.L. A First Course in Chaotic Dynamical Systems-Theory & Experiments. 1992.
  • Alligood, K., Sauer, T.D. & Yorke, J. CHAOS, an Introduction to Dynamical Systems. 1996.