Matemáticas (plan 1983) 2019-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría B

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Teoría de Singularidades y de Contacto en la Geometría Diferencial de Curvas y Superficies

En el seminario se estudiarán conceptos de geometría diferencial de curvas y superficies a través de la teoría de singularidades y de contacto. Se abordarán los siguientes temas:

1.- Curvas en ℝ²

2.- Curvas en ℝ³

3.- Superficies en ℝ³

4.- Superficies en ℝ⁴

Conceptos de geometría diferencial de curvas y superficies pueden ser capturados usando la teoría de singularidades y de contacto en ciertas funciones y mapeos relacionados a estas. Usaremos objetos geométricos “modelo” como son rectas, círculos, planos y esferas y con ayuda las funciones y mapeos mencionados encontraremos cuales son los que más se parecen a las curvas y superficies en cada punto de las mismas. Llegaremos usando a través de una ruta diferente a la usada frecuentemente a conceptos clásicos como curvatura de curvas y superficies cristalizados en objetos geométricos como cáusticas y frentes de onda.

Adicionalmente, las singularidades son muy importantes en matemáticas, pero también en la física y el mundo que nos rodea. Surgen naturalmente en un gran número de áreas diferentes de matemáticas y ciencias. Como consecuencia, la teoría de la singularidades se encuentran en el cruce de caminos que conectan áreas importantes de las aplicaciones de las matemáticas con sus partes más abstractas.

Si el tiempo lo permite podríamos mencionar que los orígenes de las técnicas usadas en el estudio de singularidades de cáusticas, frentes de onda y otros objetos relacionados a la óptica geométrica provienen de la geometría de los espacios fase o simpléctica, y la geometría de contacto.

Se hará énfasis en los ejemplos, la intuición y claridad de ideas.

En el seminario contaremos con la presencia regular del profesor Ricardo Uribe-Vargas, uno de los matemáticos mexicanos que fueron estudiantes del profesor Vladimir Arnold, quien desempeñó un importante papel en el desarrollo de la teoría de singularidades y sus aplicaciones a la geometría.

Los conocimientos deseables para el seminario: nociones básicas de geometría analítica y cálculo.

A partir de ellas se puede construir la teoría, y los teoremas que vayamos necesitando se repasan y explican al momento de que hagan falta.

La evaluación podría ser por medio de exposiciones - pueden escoger algún tema de la bibliografía que les vamos a proponer, o alguno que sea de su agrado, y traerlo para exposición en una fecha acordada. La idea es que nos compartamos nuestro interés y entusiasmo por los temas y aprendamos cosas nuevas.

El horario actual no es definitivo - durante los primeros días haremos un sondeo entre los interesados en inscribirse para determinar entre todos un horario que sea el más conveniente para la mayoría.

El objetivo de este seminario es, ante todo, que todos aprendamos a partir de las perspectivas, intuiciones y conocimientos que cada quien aporte.