Matemáticas (plan 1983) 2019-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Álgebra B

Diversas ramas de la Matemática como las teorías algebráicas de grupos, anillos o módulos, la Topología o el Análisis combinatorio, cuentan con métodos propios de expresión y desarrollo. Debido a lo enorme de esta diversidad sorprende hallar cuánto tienen en común estos métodos específicos. De hecho, un gran número de teorías matemáticas están edificadas sobre ciertos principios generales cuyo estudio es el tema de la Teoría de las Estructuras Matemáticas (y, en forma todavía más abstracta, de la Teoría de las Categorías).

En el curso que aquí se ofrece se propone abordar la Teoría de las Estructuras Matemáticas de un modo sencillo y comprensible, requiriendo de l@s estudiantes experiencia con alguna teoría matemática en que se considere algún tipo de estructura como puede ser la de una métrica para un conjunto X o la que convierte a X en un espacio vectorial sobre algún campo.

La idea de una estructura matemática fue puesta en consideración por Nicolás Bourbaki en su Teoría de los Conjuntos en 1957. El capítulo 4 comienza diciendo:

El propósito del presente capítulo es decribir, de una vez y para siempre, algunas de las construcciones y demostraciones particularmente frecuentes en matemáticas.

Desgraciadamente la descripción ofrecida por Bourbaki resultó harto engorrosa y fue abandonada. Simultáneamente, una teoría aún más abstracta (y más conveniente:) era introducida por Eilenberg y MacLane. La Teoría de las Categorías presentada por ellos en los años cuarenta tuvo un rápido desarrollo en las siguientes décadas. Actualmente gran número de matemáticos dan crecimiento sostenido a esta Teoría, y muchísimos más emplean el lenguaje categórico en áreas que van desde la Topología y el Análisis Matemático hasta las Ciencias de la Computación.

En este curso se presenta un enfoque correcto de las categorías desde la perspectiva en que quiso situarlas Nicolás Bourbaki. Nuestros objetos de estudio serán tanto conjuntos aparejados a alguna estructura, como funciones que preserven esa estructura. Para cada estructura, la colección de estos conjuntos y funciones constituirá una categoría concreta de conjuntos estructurados. Se estudiarán los conceptos básicos concernientes a estas categorías recorriendo el itinerario que sigue:

1 Conjuntos.

2 Definición y ejemplos de categorías concretas de conjuntos estructurados (ccce).

3 Noción de isomorfismo en una ccce.

4 Fibras.

5 ccce isomorfas.

6 Subobjetos en una ccce y generación de ellos.

7 Objetos cocientes.

8 Objetos libres.

9 Estructuras iniciales.

10 Productos cartesianos.

11 Estructuras finales.

12. Objetos semifinales.

Bibliografía: Theory of Mathematical Structures de Jirí Adamek, D. Reidel Publishing Company