Matemáticas (plan 1983) 2019-2

Optativas de los Niveles I, II, III y IV, Geometría Moderna II

Geometría Moderna II

Introducción a las geometrías no euclidianas

Prof. Carlos Alvarez.

Ayudante Israel Ramos

El origen de las geometrías no euclidianas está estrechamente vinculado con el intento de probar el llamado axioma de las paralelas de la geometría euclidiana. Es sabido que el libro de G. Saccheri (Euclides Vindicatus), en muchos sentidos el primer libro de geometría no euclidiana, es en realidad un texto escrito con el ánimo de probar el axioma euclidiano.

Nuestro curso comenzará con una revisión rápida del papel que el axioma de las paralelas desempeña en la geometría euclidiana, a partir de una pregunta que no es frecuente: ¿cuál es el propósito de Euclides al proponerlo junto con el resto de los axiomas de la geometría? Es esta pregunta la que abre la interrogante de Saccheri: ¿cómo debe conducirse una prueba (por reducción al absurdo) de dicho axioma? Una vez analizado, con el texto de Saccheri y el texto de N. Lobachevski, la imposibilidad de dicha prueba por reducción al absurdo, analizaremos el desarrollo de la geometría hiperbólica, de los distintos modelos de la misma y culminaremos el curso con una aproximación a la geometría elíptica.

Temario

1. Revisión de axioma de las paralelas en los tres ámbitos euclidianos: la teoría de áreas (teoría de paralelogramos), la geometría del círculo y la teoría de la semejanza de figuras.
2. Reconstrucción de estos tres ámbitos de la geometría al suponer la ausencia del axioma de las paralelas.
3. El desarrollo de una auténtica “teoría de paralelas” desarrollada por N. Lobachevski
4. Estudio de los principales modelos de la geometría hiperbólica: el semiplano y el disco de Poincaré, la pseudo esfera de Beltrami.
5. La geometría esférica y elíptica

Bibliografía

1. G. Saccheri: Euclid Vindicated
2. N. Lobatschevski: Theory of Parellels
3. J. Bolyai: Science of Absolute Space
4. R. Hartshorne: Geometry, Euclid and Beyond
5. G. E. Martin: Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane
6. H.S.M. Coxeter: Non-Euclidean Geometry
7. M.J. Greenberg : Euclidean and Non-Euclidean Geometries