Matemáticas (plan 1983) 2019-2

Optativas de los Niveles V y VI, Geometría Diferencial II

• IMPORTANTE: Nos estamos reuniendo a partir de las 3 pm en el salón O126.

GEOMETRÍA DIFERENCIAL II

Cubriremos los aspectos más importantes del temario oficial, así como los conceptos fundamentales de la teoría de variedades diferenciables haciendo énfasis en las aplicaciones de estos conceptos a la teoría de la Relatividad General.

La forma de calificar es mediante examenes presenciales y tareas examen.

1. Geometría Riemanniana (Superficies) (10 hrs)

• Superficies Geométricas
• Curvatura Gaussiana
• Derivada Covariante
• Geodésicas y Transformación Exponencial
• El Teorema de Gauss-Bonnet y Aplicaciones

2. Estructura Global de las Superficies (10hrs)

• Propiedades de las geodésicas
• Primera y Segunda Variación de la Longitud de Arco
• Superficies Completas
• Mapeos que Preservan el Producto Interno
• Superficies de Curvatura Constante
• Teoremas de Bonnet y Hadamard

3. Variedades Diferenciables (20 hrs)

• Definición de Variedad
• El Cálculo sobre una Variedad; mapeos diferenciables, vectores tangentes, 1-formas, tensores, mapeos inducidos y subvariedades
• Flujos y Derivada de Lie
• Formas Diferenciales; derivada exterior, derivada de Lie de campos tensoriales
• Integración de Formas Diferenciales
• Grupos y Álgebras de Lie

4. Grupos de Homología (6 hrs)

• Grupos Abelianos y Grupos Cíclicos
• Simplexes y Simplicial complexes
• Grupos de Homología de simplicial complexes
• Propiedades Generales de los Grupos de Homología

5. Grupos de Homotopía (6 hrs)

• Grupos Fundamentales
• Propiedades Generales de los Grupos Fundamentales
• Grupos Fundamentales de Poliedros

6. Cohomología de De Rham (8 hrs)

• Teorema de Stokes
• Grupos de Cohomología y Teorema de De Rham
• Lema de Poincaré
• Estructura de los grupos de Cohomología de De Rham

7. Geometría Riemanniana (20 hrs)

• Variedades Riemannianas y Pseudo-Riemannianas (variedades Lorentzianas)
• Transporte Paralelo; Conexiones y Derivada Covariante
• Curvatura y Torsión
• Conexión de Levi-Civita y Holonomía de una Conexión
• Vectores de Killing
• Bases no-coordenadas
• Formas Diferenciales y Teoría de Hodge
• Relatividad General; Acción de Einstein-Hilbert y Espinores

Bibliografía

Para las partes 1y 2 del temario

• Do Carmo, M. P. Differential Geometry of Curves and Surfaces in R3, New Jersey: Prentice Hall, 1976. (Trad. Oscar Palmas, México: Vínculos Matemáticos 183, 185, 193, 194, 197, Facultad de Ciencias, UNAM, 1991.)
• O’Neill, B., Elementary Differential Geometry, San Diego: Academic Press, 1997.

Para las partes 3-7 del temario

• Nakahara, M. Geometry, Topology and Physics (IOP Publishing, Bristol, 1990)
• Choguet-Bruhat et al. Analysis Manifols and Physics (North-Holland, Amsterdam 1983).