Matemáticas (plan 1983) 2019-2

Optativas de los Niveles V y VI, Geometría Diferencial I

Presentación

Este curso es una introducción a la geometría diferencial y sus parientes más cercanos. Según el programa oficial, veremos los casos clásicos de curvas y superficies en el espacio euclidiano (“erre tres”), donde podemos visualizar más fácilmente los conceptos y resultados básicos de la teoría. También de acuerdo con dicho programa, es conveniente tener un buen conocimiento del álgebra lineal, el cálculo vectorial y, en ocasiones, de ecuaciones diferenciales.

Sin embargo, el contenido del curso se puede adaptar fácilmente para dar la motivación de algunos conceptos más avanzados que no sólo tienen utilidad en geometría, sino también en física. Así, en este curso daremos una indicación de la forma de trabajar con la geometría del espacio de Minkowski, entre otras generalizaciones de la teoría básica.

Al principio, daremos una especie de repaso de la teoría de curvas en el espacio euclidiano, que en general es conocido por los cursos de Cálculo. Pero el centro del temario será el estudio de las superficies, siempre apoyados por las técnicas del cálculo diferencial.

Siendo ésta una teoría clásica (algunos de los resultados que veremos datan de hace varios siglos), no es difícil encontrar una buena cantidad de libros de texto útiles en esta materia. Sin embargo, desde hace casi medio siglo se ha impuesto, por su claridad de exposición, el uso del libro de Manfredo do Carmo citado en la bibliografía. A esto podríamos agregar algunos otros, uno de ellos escrito por el profesor Guadalupe Reyes (UAM-Iztapalapa) y el titular de este curso, que usaremos de manera ocasional.

Siendo ésta la materia a la que me dedico, este curso tiene también la no tan velada intención de invitar a los estudiantes para que se adentren en esta línea de trabajo, de la cual iremos comentando a lo largo del semestre.

Calificación

Durante el semestre habrá cuatro exámenes parciales. Las fechas únicas (sin excepciones) para cada examen serán las siguientes, en un horario de 10 a 12 horas:

Primer examen parcial (Curvas en el espacio euclidiano): Martes 19 de febrero

Segundo examen parcial (Conceptos básicos de superficies): Martes 19 de marzo

Tercer examen parcial (La aplicación de Gauss): Martes 9 de abril

Cuarto examen parcial (Temas adicionales, incluyendo el Teorema de Gauss-Bonnet): Martes 21 de mayo

Como preparación para cada examen parcial, daremos una lista de problemas de los cuales elegiremos algunos para dicho examen. Las tareas aparecerán en mi página de la Facultad, así como en otras páginas que daremos a conocer en breve.

Al final del semestre podrán reponer a lo más un examen parcial, o bien presentar el examen final.

Fecha de la reposición de un examen parcial: El día que nos toque la primera vuelta.

Fecha del examen final: El día que nos toque la segunda vuelta.

La calificación final será el máximo entre el promedio de los exámenes parciales, el promedio de los exámenes parciales contando la reposición si la hubiere y la calificación del examen final.
La calificación mínima aprobatoria será 6.0
Las calificaciones finales 6.5, 7.5, 8.5 y 9.5 “suben” a 7, 8, 9 y 10 respectivamente.

Asesorías

Oscar Palmas (Cub. 236 del Departamento de Matemáticas): Martes 15:00 a 16:00

Alberto Lazcano: Contactarlo por correo: alberto.lazcano@ciencias.unam.mx

Bibliografía

Do Carmo, M. P., Differential Geometry of Curves and Surfaces in R3 , 1976. (Traducción de Oscar Palmas, México: Vínculos Matemáticos 183, 185, 193, 194, 197, Facultad de Ciencias, UNAM, 1991.)

O’Neill, B., Semi-riemannian Geometry with Applications to Relativity, 1983.

Palmas, Reyes, Curso de Geometría Diferencial, publicado en dos volúmenes, 2005-2006.