Matemáticas (plan 1983) 2019-2

Sexto Semestre, Análisis Matemático II

La primera mitad del curso será dedicada a estudiar espacios de funciones como los son los espacios de funciones continuas C[a,b], C(K) con K compacto, el espacio de funciones acotadas B[a,b], espacio de funciones de variación acotada BV[a,b] etc... para esto estudiaremos primero la convergencia uniforme (convengencia en la norma del supremo) y probaremos teoremas importantes en estos espacios, además definiremos la integral de Riemann-Stieltjes probaremos sus principales propiedades y teoremas, como el teorema de integración por partes, además estudiaremos un poco el espacio dual de un espacio normado y probaremos un teorema de representación de Riesz.

La segunda mitad del curso esta dedicada a estudiar la integral de Lebesgue, los conceptos de de sigma álgebra, medida, funcion medible etc.. probaremos teoremas importantes con respecto a convergencia y esta integral como el teorema de convergencia monotona y el teorema de convergencia dominada y varios mas, finalizamos viendo la relación de esta integral con la integral de Riemann usual.

El curso aunque obligatorio para matemáticos, son bienvenidos estudiantes de actuaria y fisica que necesiten profundizar en los temas de espacios de funciones y teoría de la medida en R.

Temario.

Parte I: Espacios de funciones

1. Convergencia uniforme.
2. El teorema de Stone-Weiertrass.
3. Equicontinuidad
4. El teorema de Arzela- Ascoli.
5. integral de Riemann-Stieltjes.
6. El dual de un espacio normado (Discusión introductoria)
7. El teorema de representación de Riesz en C[a,b].

Parte II: Integral de Lebesgue en R.

1. Sigmas álgebras
2. Medidas
3. funciones medibles
4. la integral de Lebesgue y sus propiedades
5. El teorema de la convergencia monotona
6. El teorema de la convergencia dominada
7. La relación de la integral de Riemann y la integral de Lebesgue.
8. Espacios L_{p}.

Requisitos: Un buen curso de Análisis Matemático I, manejo de los conceptos de convergencia, continuidad y topologia en espacios métricos, ganas de hacer cuentas y desigualdades.

Evaluación: 3 o 4 examenes y una tarea examen, exposiciones y trabajo en clase con el ayudante, este último funciona de la siguiente manera: La ayudante dejará ejercicios para entregar llevará la cuenta de cuantos ejercicios entrega cada uno y si tienes todos al final se te asignará un punto extra en tu calificación final, si solo entregas la mitad solo tendrás medio punto extra y así en regla de tres.

Bibliografia: Carothers, Real Analysis. Apostol, Análisis Matemático, Folland G. Real Analysis. Bartle, Elements of integration, D. L Cohn Measure theory.