Matemáticas (plan 1983) 2019-2

Cuarto Semestre, Cálculo Diferencial e Integral IV

En este curso se generalizarán los conceptos que se vieron en el segundo curso de Cálculo, se desarrollará la teoría matemática necesaria para poder justificar la integral como operador lineal y los teoremas asociados a esta poderosa herramienta. Dado lo anterior, es necesario utilizar conceptos de otras áreas de las matemáticas, como son el Álgebra lineal y la Topología, donde se asumirá que el estudiante tiene los conocimientos de los temas que impartimos en el curso anterior de Cálculo y los temas que se imparten en un curso estándar de Álgebra Lineal. Uno de los objetivos de este curso es que el estudiante pueda apreciar la interacción entre distintas ramas de las matemáticas.

El curso comienza con temas selectos de sucesiones de funciones, donde se asumirá que el estudiante conoce las herramientas básicas de la teoría de sucesiones de funciones. Posteriormente, dado que la integral tiene una interpretación geométrica de "área" o "volumen", se dará una introducción a Teoría de la Medida, en particular, la teoría de Lebesgue. A continuación, se verá la construcción de la integral de Riemann, así como las propiedades que cumple este operador. Finalmente, la primera mitad del curso termina con el teorema del cambio de variable y su demostración.

La segunda mitad del curso tendrá un enfoque distinto al usual. Este enfoque será geométrico, en el cual se introducirán conceptos de Geometría Diferencial, que refuerzan los vistos en Cálculo III, como son las variedades y la partición de la unidad. El objetivo principal de esta parte del curso es demostrar el teorema de Stokes en variedades inmersas en R^n, así como sus consecuencias.

Este curso, al igual que el resto de los Cálculos, tiene una gran importancia en la formación de los estudiante de Ciencias, ya que los conceptos aprendidos en esta materia se aplican en las áreas de Probabilidad, Análisis funcional, Geometría Diferencial y Riemanniana, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales, Variable Compleja, entre otras. Es importante en la formación matemática de un estudiante ya que le permite conocer el desarrollo de la teoría y que diversos problemas pueden resolverse a partir de los conceptos y herramientas vistas en la construcción de la integral. Además, en física, el teorema de Stokes y la teoría de deRham son aplicables de manera concreta al Electromagnetismo, la Relatividad General y la Mecánica Analítica.

Cabe destacar que el enfoque del curso es completamente teórico, el temario es extenso y se requiere compromiso por parte de los estudiantes interesados en tomar la materia. Se asume que cada estudiante le dedicará el tiempo que considere necesario para reforzar los temas vistos en clase. Dado que este curso está pensado como una continuación al curso anterior, con un enfoque similar al que se dio, aquellos estudiantes que no llevaron el curso anterior y estén interesados en cursar la materia deberán estar conscientes que posiblemente tendrán que estudiar ciertos temas por su cuenta. Para facilitar esta transición, consideramos que es prudente que estudien los teoremas de la función implícita e inversa y sucesiones. Si es necesario algún otro tema les daremos atención personalizada para ello.

Temario (A grandes razgos)

1. Temas selectos de sucesiones de funciones.

   • Modos de convergencia

   • Espacios C(X,Y)

2. Teoría de la medida

   • Conjunto de Cantor

   • Medida Exterior

   • Conjuntos medibles y la medida de Lebesgue

3. Integración en espacios euclideanos

   • La integral en R^n

   • La integral sobre conjuntos distintos a intervalos

     1. Contenido de Jordan

   • Integración de funciones continuas

   • Teorema de Fubini

   • Diferenciación de la integral con respecto a un parámetro

   • Integrales impropias

4. Teorema de cambio de variable

   • Partición de la unidad

   • Difeomorfismos

   • Aplicaciones

     1. Significado del determinante

     2. Invarianza del volumen bajo isometrías

5. Variedades

   • Variedades parametrizadas

   • Variedades en R^n

   • La frontera de una variedad

   • Integración de una función escalar sobre una variedad

6. Formas Diferenciales

   • Álgebra multilineal (Tensores)

   • Tensores alternantes

   • Producto cuña

   • Derivada exterior

7. El teorema de Stokes

   • Integración de formas sobre variedades orientadas

   • Interpretación geométrica de formas e integrales

   • El teorema de Stokes generalizado

   • Aplicaciones al análisis vectorial

   • El lema de Poincaré

   • Los grupos de deRham

Evaluación: 100% Exámenes