Matemáticas (plan 1983) 2019-2

Cuarto Semestre, Álgebra Lineal II

Forma de evaluación

Realizo cuatro o cinco evaluaciones parciales. Cada una de ellas considera una tarea, que se extrae de una lista de ejercicios y vale el 30 % de la calificación, y un examen (70 %). Las tareas pueden realizarse en equipo, pero deben escribirse y entregarse individualmente. El último examen parcial se aplica en la fecha del examen final de primera vuelta. En la fecha del examen final de segunda vuelta se puede presentar hasta dos resposiciones de exámenes parciales, o el examen final. Sólo se redondean al siguiente entero las calificaciones aprobatorias y “terminadas” en 6 (7.6, 7.56, etc., pero no 7.46 o 7.54 ni 5.9). En cada parcial habrá una lista de temas y problemas disponibles (o asignados) para exposición. Quienes hagan una buena presentación de su tema o problema podrán ver calificaciones como 7.5 subir al siguiente entero (pero tampoco esperen milagros).

Temario

1. Diagonalización
2. Diagonalizabilidad y descomposición del espacio como suma de invariantes
3. Teorema de Cayley-Hamilton
4. Producto interior y norma
5. Algoritmo de ortogonalización de Gram-Schmidt
6. Espacio dual
7. Adjunto de un operador lineal
8. Teorema de Schur
9. Operadores normales y autoadjuntos
10. Operadores unitarios y ortogonales y sus matrices asociadas
11. Proyecciones ortogonales y Teorema Espectral
12. Formas cuadráticas y bilineales
13. Teorema de Sylvester; rúbrica de una forma
14. Formas canónicas de Jordan

Temas optativos

1. Descomposición en Valor Singular, descomposición polar y Pseudoinverso.
2. Geometrı́a de los operadores ortogonales.
3. Prueba de la Segunda Derivada para la localización de valores extremos en funciones reales de varias
variables.
4. Polinomio mı́nimo.

Descripción del curso

Supondré que los alumnos tienen conocimiento de los conceptos de espacio y subespacio vectorial, independencia lineal, base, suma directa y otros relacionados, que saben escribir la matriz que se asocia a una transformación lineal dada en términos de bases arbitrarias y que conocen y manejan la teorı́a correspondiente a estos temas (e.g., el Teorema de la Dimensión, invertibilidad, isomorfismos, cambio de base). Asimismo, se da por hecho la capacidad de cálculo del determinante de una matriz y el manejo de sus propiedades, ası́ como el conocimiento de qué son una matriz y una operación elementales, y su uso en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales (junto con los aspectos teóricos relacionados con ésta). Este curso comienza con el tema de diagonalización de operadores lineales en espacios vectoriales de dimensión finita, el estudio de subespacios invariantes bajo la transformación y el teorema de Cayley-Hamilton, lo que se translapa en parte con el final del temario de Álgebra Lineal I.

A la “descomposición” del espacio en relación con la acción de un operador lineal dada por sus valores y vectores propios se le conoce como descomposición espectral. Esta misma descomposición da una expresión del espacio vectorial como suma directa de espacios propios. Las matrices que se obtienen al expresar el operador lineal en términos de una base de vectores propios son las formas canónicas del operador. Naturalmente, también se estudia qué condiciones debe cumplir un operador para ser diagonalizable.

Después de discutir la diagonalización de operadores lineales introducimos una noción, la de producto interior, que permite definir ortogonalidad, magnitud de un vector y distancia entre un par de vectores, con lo cual se amplı́an nuestras herramientas de estudio de espacios vectoriales y las transformaciones lineales.
Los espacios vectoriales en los que está definido un producto interior se conocen como espacios de producto interior, y una parte sustancial de este curso se aboca a estudiar las transformaciones lineales entre espacios de producto interior: se buscan bases ortogonales que diagonalicen la matriz asociada a operadores lineales,
y se discuten las condiciones que garantizan la diagonalizabilidad con una base ortogonal de un operador. Uno de los resultados centrales de este curso es el Teorema Espectral, que describe la acción de un operador normal (para F = C) o autoadjunto (para F = R) sobre el espacio.

Una primera generalización de la descomposición espectral para operadores no diagonalizables definidos en espacios de producto interior es la descomposición polar, para matrices cuadradas. Ésta puede obtenerse a partir de la descomposición en valor singular, que extiende la lógica de la diagonalización con bases ortogonales a transformaciones lineales.

Otra extensión del problema general de la diagonalización de una matriz lleva a calcular las formas canónicas de Jordan cuando una matriz no se puede diagonalizar. A su vez, los polinomios mı́nimos constituyen una especie de refinamiento al teorema de Cayley-Hamilton, y son un tema optativo que posiblemente se cubra en el curso.

Las formas bilineales y cuadráticas son funciones menos sencillas que las transformaciones lineales que sin embargo podemos comprender mejor usando la teorı́a desarrollada con las distintas formas de diagonalización.

Bibliografı́a

Friedberg, S.H., Insel, A.J., y L.E. Spence, Linear Algebra, Ed. Prentice Hall (4a. edición).
Axler, S., Linear Algebra Done Right, Ed. Springer (2a. edición).
Treil, S. Linear Algebra Done Wrong, Licencia de Creative Commons