Matemáticas (plan 1983) 2019-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Álgebra A

Teoría de las Estructuras Matemáticas

Bajo el título que encabeza este curso se pretende abordar un amplio estudio acerca de cierto tipo de onjetos de muy frecuente aparición en matemáticas: los conjuntos estructurados.

Ya desde fines del siglo pasado una particular estructura había sucitado gran revuelo en el gremio de los matemáticos a grado tal que se pensó en la posible reducción de toda la matemática a este concepto: se trataba de la estructura de grupo.

Desde la primera mitad del siglo XIX los matemáticos comenzaron a observar que diversos conjuntos de entidades con los que trabajaban hacía ya tiempo, pese a la distinta naturaleza de esas entidades, tenían sin embargo un comportamiento común; en unos y otros se conservaba un mínimo de propiedades algebraicas elementales. Un primer estudio de este hecho les llevó a definir los primeros conjuntos estructurados cuyo estudio sentó las bases del álgebra moderna.

Luego de algunos años de exploración en ese terreno, Félix Klein pudo reducir el estudio de las geometrías euclidiana y proyectiva a la teoría de grupos, concibiendo así el magnífico proyecto de extender este resultado a todas las matemáticas. Pero una parte cimarrona de éstas resultó incompatible con aquella idea y el Programa de Erlangen en el que Klein presentó su definición de geometría quedó reducido a ser útil sólo en el dominio que hasta entonces abarcaba, esto es, en la geometría euclidiana clásica y en las geometrías centro afín, afín y proyectiva.

Este "fracaso" acrecentó el interés de los matemáticos por los conjuntos estructurados. Si bien dejó de creerse en la existencia de una estructura absoluta que redujese las matemáticas al estudio de una sola teoría no menguaron, sin embargo, los estudios exclusivos en cada una de las estructuras matemáticas sino al contrario, dieron en campos de investigación de una gran fertilidad.

En la realización de estos estudios siguió llamando la atención el hecho cada vez más patente de que en distintas ramas de la matemática teorías distintas, con todo y contar con una metodología propia, tanto en el arribo de resultados como en la presentación de ideas mostraba una muy peculiar similitud no ya porque se hallasen supeditadas a una estructura común sino porque estructuras claramente diferenciadas (topológicas, anulares, reticulares, métricas, vectoriales, de orden, etcétera) parecían mostrarse fieles al dictamen de principios generales hasta entonces ignorados.

Con estos antecedentes sería raro no hallar en esta historía algún matemático o grupo de matemáticos que pretendiese el estudio completo de las estructuras matemáticas.

Parecen haber sido los matemáticos franceses del grupo Bourbaki quienes empezaron a fraguar esta teoría en algún año de la década de los 40. Ya para 1957 el propio N. Bourbaki incluye un capítulo intitulado Estructuras en su Teoría de Conjuntos, donde apunta:

<<El propósito de este capítulo es describir, de una vez por todas, las construcciones y demostraciones que con frecuente particularidad hallamos en matemáticas.>>

Por esos mismos años dos matemáticos, Eilenberg y Mac Lane, introducen una teoría que, aunque más abstracata, ha resultado más conveniente para el tratamiento de las estructuras matemáticas; la llamaron Teoría de las Categorías.

En 1983 el matemático checoslovaco Jiří Adámek acopló al lenguaje categórico parte de la teoría expuesta por Bourbaki y consiguió dar consistencia a la por él llamada Teoría de las Estructuras Matemáticas. Acaso su éxito en el logro de esta teoría radica en haber fijado su atención en conjuntos dotados de cierta estructura y en funciones que al operar sobre ellos preservan tal estructura. Para una estructura fija, la colección de conjuntos estructurados por ella y la colección de funciones que las preservan forman una categoría concreta de conjuntos estructurados.

Nuestro curso será un estudio detallado de la primera parte del primer capítulo del libro de Adámek Theory of Mathematical Structures, que consiste en una investigación detallada de conceptos básicos concernientes a las estructuras matemáticas: isomorfismos, subobjetos, cocientes, objetos libres, etcétera.

El curso será de un nivel básico y no se requieren conocimientos matemáticos previos específicos para llevarlo, pues en la medida de lo posible será autocontenido. La evaluación y temas afines serán tratados directamente en el salón de clases.

Bibliografía principal:

1. Theory of Mathematical Structures. Jiří Adámek. 1983. Sprimger Netherlands.

2. Teoría de las Estructuras Matemáticas. Notas de clase del doctor Roberto Vázquez (Facultad de Ciencias. UNAM): http://:http://www.dynamics.unam.edu/NotasVarias/Vazquez2.pdf