Matemáticas (plan 1983) 2019-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Álgebra A

IMPORTANTE: GRUPO 4370. EL SEMINARIO DE TEORÍA DE CONOS Y APLICACIONES SE LLEVARÁ A CABO

TODA LA SEMANA DE 9 A 10 AM. EN EL SALÓN 2, 2o. PISO DEL NUEVO EDIFICIO DEL INSTITUTO DE MATEMÁTICAS.

SEMINARIO. TEORÍA DE CONOS Y APLICACIONES.
(Temas selectos de Álgebra Lineal)
Dra. Martha Takane Imay.
Instituto de Matemáticas UNAM
http://www.matem.unam.mx/fsd/takane
CRÉDITOS: 10

TEORÍA DE CONOS Y APLICACIONES.
El Álgebra Lineal es una de las áreas de las Matemáticas con más aplicaciones
en las Matemáticas mismas y otras muchas ciencias como Física, Economía,
Química, Computación, entre muchas otras.
La teoría de Conos y las matrices que dejan conos invariantes han sido uti-
lizadas desde hace mucho tiempo en la Economía Matemática. Con el surgimiento
de la Computación, el Álgebra Lineal y en particular la Teoría de Conos está
teniendo un nuevo e importante auge.
En este seminario se dará una introducción a la teoría de conos y algunas
de sus aplicaciones. Daremos aplicaciones importantes y también algunas que
podrán generar l@s estudiantes participantes, dependiendo de sus intereses.
Requisitos: Álgebra Lineal I y Cálculo Diferencial e Integral I y II.
TEMARIO:
0. Recordatorio de algunos conceptos y resultados en la Teoría de Matrices.
I. Conos.
I.1. De...niciones y Ejemplos:
Cono, subcono, subcono generado en espacios vectoriales reales.
Ejemplo importante: El cono positivo.
I.2. Cono sólido.
2.1. Lema: Un cono en R n es sólido si y sólo si contiene una base.
2.2. Sea K cono en R n entonces K es sólido en su subespacio generado.
3. El orden parcial en R n , K de...nido por K.
II. Caras de un Cono.
II.1. De...nición y ejemplos.
Cara, cara generada por un conjunto X:
II.2. Propiedades.
II.3. Álgebra lineal en conos: "Cono es a espacio vectorial como Caras es a
(algunos pero su...cientes) subespacios vectoriales"
1III. Algo más de Teoría de matrices: Matrices no negativas y el
cono positivo.
III.I. Matriz irreducible y matriz fuertemente irreducible.
III.2. El Teorema de Perron-Frobenius. Este teorema es uno de los más
importantes y profundos en la teoría de Matrices.
III.3. Algunas Aplicaciones.
IV. Matrices que dejan conos invariantes.
IV.1. Funciones lineales (matrices) que dejan conos invariantes y algunas
propiedades.
IV.2. Teorema de Birkho¤-Vandergraft, que es el teorema de Perron-Frobeniuspara Conos.
IV.3. Aplicaciones.
V. Apéndice: Álgunas generalizaciones del Álgebra Lineal y sus
Conos.
Este tema será sólo una plática informativa sobre Máx-Álgebras, Min-álgebras
(o Geometría Tropical) y sus conos. Y Matroides.
Bibliografía.
1. Daremos notas.
2. H. Nikaido, Convex Structures and Economic Theory. Elsevier (1968).
3. H. Schneider y B.S. Tam, Matrices leaving a cone invariant, in Handbook
for Linear Algebra, ed. L. Hogben Chapman and Hall (2006).
4. H. Schneider y G.P. Barker, Algebraic Perron-Frobenius Theorem. Linear
Alg. Appl. 11, 219-233.