Matemáticas (plan 1983) 2019-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Ecuaciones Diferenciales III

Con frecuencia, los modelos que se utilizan para describir a diversos fenómenos consisten de una familia de ecuaciones diferenciales. Un paso importante al analizar estos modelos es reconocer los distintos tipos de comportamiento que pueden ocurrir en esta familia. Esto nos lleva a enfocarnos en aquellos miembros de la familia en los cuales los cambios topólogicos o bifurcaciones pueden ocurrir.

El objetivo de este curso es estudiar tales bifurcaciones.

Temario

1. Introducción y repaso de teoría cualitativa.

1.1. Definiciones básicas en sistemas dinámicos.

1.2. Flujos y ecuaciones diferenciales ordinarias.

1.3. Conjuntos invariantes.

1.4. Conjugación y equivalencia de flujos.

1.5. Mapeo de Poincaré.

1.6. Estabilidad estructural.

2. Métodos de simplificación en ecuaciones diferenciales.

2.1. Formas normales.

2.2. Teorema de la variedad central.

3. Bifurcaciones locales

3.1. Bifurcación silla-nodo.

3..2. Bifurcación de Hopf.

3.3. Bifurcación de cúspide.

3.4. Bifurcación de Bautin.

3.5. Bifurcación de Takens-Bogdanov.

4. Bifurcaciones globales.

4.1. Orbitas homoclínicas y heteroclínicas.

4.2. Teorema de Andronov- Leontovich

4.3. Teoremas de Shilnikov

4.4. La función de Melnikov

4.5. Sistemas caóticos

Bibliografía

• Hale and Kocsack, Dynamics and Bifurcations, Springer Verlag.
• Arrowsmith & Place. An introduction to dynamical systems. Cambrigde University press.
• Kusnetzov, Y. Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer Verlag.
• Wiggins, S. Introduction to applied nonlinear dynamical systems, Springer Verlag.
• Perko, L. Differential equations and Dynamical systems, Springer Verlag.
• Meiss, J. Differential Dynamical systems, SIAM

Bibliografía