Matemáticas (plan 1983) 2019-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Análisis Matemático III

Análisis Matemático III, semestre 2019-I.

En este curso se dara una introducción a diversos temas del Análisis Funcional, estudiaremos el concepto de espacio de Banach, espacio de Hilbert, sus propiedades y teoremas relevantes con respecto a su teoria de operadores y su teoria espectral, probaremos resultados que son importantes por sus aplicaciones en diversas áreas de la matemática.

Sin duda el concepto importante del curso es el de operador acotado, que al ser transformaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión infinita tiene muchas aplicaciones dentro de la matematica, junto con el esta el concepto del espectro cuyos valores se pueden pensar como una generalizacion de los valores propios en el caso de dimensión finita, así en el curso veremos algunos teoremas que tienen que ver con la teoria matemátiva de estos conceptos.

El curso es introductorio pues cabe mencionar que todos estos temas tienen un nivel de profundidad abismal y un sin fin de cosas interesantes no se cubrirán, sin embargo el curso esta pensado para que los estudiantes puedan adentrarse en las diversas áreas donde se aplica el Análisis funcional, como lo son el calculo de variaciones, ecuaciones diferenciales parciales, teoría de control, álgebras topologicas, geometría en espacios de Banach, por mencionar algunas.

Temario.

1. Espacios de Banach

1.1 Definiciones, ejemplos y propiedades basicas

1.2 Operadores lineales, la norma de operador, funcionales lineales

1.3 Teoremas importantes en espacios de Banach:

1.3.1 Teorema de Hahn-Banach.

1.3.2 Teorema de acotamiento uniforme.

1.3.3 Teorema de la gráfica cerrada.

1.3.4 Teorema del mapeo abierto.

1.4 Topologias débiles en espacios de Banach, el teorema de Banach-Alaoglu.

2. Espacios de Hilbert.

2.1 Espacios con producto punto y propiedades básicas

2.2 Ortogonalidad y bases.

2.3 Teorema de representación de Riesz

2.4 Teorema del isomorfismo.

3. Teoría espectral.

3.1 El espectro de un operador, algunos resultados.

3.2 El teorema espectral.

3.3 Propiedades del espectro de algunos tipos de operadores.

4. Algunos operadores especiales.

4.1 Operadores compactos.

4.2 Operadores autoadjuntos.

4.3 Diferentes tipos de operadores acotados.

4.4. Propiedades espectrales de operadores compactos, autoadjuntos etc...

5. Algebras de Banach.

5.1 Algebras de Banach su definición y propiedades.

5.2 El conjunto de elementos invertibles.

5.3 El espectro de un elemento.

5.4 El teorema de Gelfand-Mazur.

Bibliografía.

N. L. Carothers, A Short Course on Banach Space Theory

Dunford, schwartz, Linear operators part I: General Theory.

G. Folland, Real Analysis.

H. Jarchow, Locally convex spaces.

E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with applications.

R. E. Megginson, An introduction to Banach Space Theory

W. Rudin, Functional Analysis.

EVALUACIÓN:

4 o 5 tareas examenes, en cada una se deberan exponer frente a grupo algunos ejercicios de las tareas. Cuenta mucho la participación del alumnos en clase y con el ayudante.