Física (plan 2002) 2019-1

Primer Semestre, Álgebra

¿Qué esperar del curso?

En este curso se espera estudiar los temas básicos de la matemática, y en particular del álgebra, se espera que sirvan como fundamento para el estudio de la física básica y motiven al estudio de la física avanzada. La matemática que subyace la física es el instrumento más importante, hasta ahora, que ha servido para explicar algunas manifestaciones de la naturaleza.

La física clásica vio en el álgebra y en la geometría analítica la herramienta fundamental que hacía claro el comportamiento de los sistemas que se estudiaban, la medición de cada fenómeno que se presentaba en un sistema determinaba el conocimiento del mismo. Por lo que, saber medir significa conocer el sistema. Además, sabemos que la matemática está basada en una forma muy particular de pensar, es decir, para poder razonar de manera analítica se necesita saber las reglas de la lógica y de los conjuntos. Un nivel debajo de las matemáticas se encuentra subyacente la lógica y los conjuntos de la matemática que utiliza la física clásica. ¿Qué estudiaremos?

Temario para el grupo de álgebra 8078

1. Lógica y conjuntos

- Sistemas formales (lenguaje, axiomas y reglas de inferencia)

- Lógica proposicional

- Conjuntos (operaciones básicas)

- Relaciones y funciones

2. Espacios vectoriales

- Números complejos

- Un poco de campos, grupos y anillos

- Definición y propiedades de espacios vectoriales

- Matriz y tal vez transformaciones lineales

- Determinantes

- Sistemas de ecuaciones

3. Polinomios

- División sintética

- Divisibilidad

- Raíces

- Teorema del factor y del residuo

Filosofía del curso

La noción de espacio y tiempo son conceptos fundamentales para la definición de movimiento, de este modo pensar en estudiar fenómenos físicos se entiende como fijar un sistema, encontrar la matemática adecuada que permite interactuar (medir) y relacionar los elementos con este marco. Por lo que, la física refleja la realidad, digamos, hay un isomorfismo entre el modelo matemático; y, a través de la física, podemos hacer una relación uno a uno con la realidad.

“Como todas las demás ciencias la matemática ha nacido de las necesidades de los hombres: de la medición de tierras y capacidades de los recipientes, de la medición del tiempo y de la mecánica. Pero, como en todos los ámbitos del pensamiento, al llegar a cierto nivel de evolución se separan del mundo real las leyes abstraídas del mismo, se le contraponen como algo independiente, como leyes que le llegan desde afuera y según las cuales tiene que disponerse el mundo. Así ha ocurrido en la sociedad y en el Estado, y así precisamente se aplica luego al mundo de la matemática pura, aunque ha sido tomada sencillamente de ese mundo y no representa mas que una parte de las formas de conexión del mismo, única razón por la cual es aplicable” (Anti- Dühring. Ed. Grijalbo. México 1962. pp. 25- 26).

Sin embargo, durante mucho tiempo el comportamiento molecular no se comporta de la manera que se expresa anteriormente. La matemática subyacente ha sido muy complicada y no han podido hacer una biyección con lo que entendemos como realidad. Es por ello que los espacios vectoriales y los estudios que nacen de la generalización de estos conceptos da un camino para visualizar un comportamiento que nos acerca a entender a nivel atómico los procesos que se llevan acabo.

A decir verdad, tal vez la matemática más avanzada no alcanza a modelar todos los fenómenos de la naturaleza. Este curso terminará con el estudio de los polinomios y discutiremos que hace falta mucho más, y eso más será la propuesta de las categorías, ¿por qué? y ¿para qué? Discutiremos la necesidad de estudiar a los sistemas desde una perspectiva distinta, un cambio de pensamiento que nos permita conocer a los sistemas mientras estamos interactuando con él.